Re: Problema de Geometria

[Ralph Costa Teixeira <ralph@xxxxxxxxxxxxxxx>]

Marcio wrote: 
>         Sejam a,b,c lados de um triangulo.
> 
>             Prove que     [a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) ] <  2
> 

	Tive uma idéia feia, bem algébrica; deve haver algo melhor.

	Podemos supor que o perímetro é 4 sem perda de generalidade (por quê?
use triângulos semelhantes... usei 4 para facilitar as contas abaixo).
Então basta mostrar que:
	1/(4-a) + 1/(4-b) + 1/(4-c) < 5/4 (por quê?)
	sempre que a+b+c=4 e a,b,c < 2

	Note que substituir a por 2 e c por z=2-b=a+c-2 aumenta a expressão.
De fato:

	1/(4-2) + 1/(4-z) = 1/2 + 1/(6-a-c) = (8-a-c)/(12-2a-2c) >
	> (8-a-c)/(16-4a-4c+ac) = 1/(4-a) + 1/(4-c)

	(Por que a desigualdade do meio funciona? Use a,c < 2)

	mas 1/(4-b) + 1/(4-z) = 1/(4-b) + 1/(2+b) = 6/{(4-b)(2+b)} <
	< 6/8 = 3/4
	(ache o mínimo de (4-b)(2+b) para 0<=b<=2)

	Junte tudo:

	1/(4-a) + 1/(4-b) + 1/(4-c) < 1/2 + 1/(4-b) + 1/(4-z) <
	< 1/2 + 3/4 = 5/4 		

	O máximo é "mais ou menos atingido" quando a=b e c=0.

	Abraço,
		Ralph