Re: 99

[Ralph Costa Teixeira <ralph@xxxxxxxxxxxxxxx>]

	O problema proposto é equivalente a encontrar um número da forma
100A+99 divisível por 99 e tal que a soma dos digitos de A é 99-18 =
81. No entanto, a soma dos dígitos ser 81 implica que A é divisível
por 9; assim, basta resolver:

	Qual é o menor número A cuja soma dos dígitos é 81 e que é divisível
por 11?

	Seja P a soma dos dígitos de A de ordem par e I a soma dos dígitos de
P de ordem ímpar. Para que A seja divisível por 11, precisamos que:

	11 | P-I => P-I = 0 ou +-11 ou +-22 ou ...

	Mas P+I=81, então P e I têm paridades diferentes. Assim:

	P+I=81
	P-I=+-11, +-33, ...., 22k+11 (k inteiro)

	Isto é:

	P = 11k+46; I = -11k+35

	As únicas possibilidades são k=-3,-2,-1,0,1,2,3. Aqui estão os
valores de P e I correspondentes:

	 P = 13, 24, 35, 46, 57, 68, 79
	 I = 68, 57, 46, 35, 24, 13,  2

	Note: qualquer número A que tenha P e I dados por uma das 7 opções
acima será divisível por 99 e terá soma de algarismos = 81. Qual é o
menor deles?

	A soma dos algarismos é 81, então A tem pelo menos 9 algarismos. Mas
neste caso A = 999.999.999 não serve (I-P=9 aqui).

	Se A tiver 10 algarismos, há 5 de ordem par e 5 de ordem ímpar, e
portanto P,I <= 45. Não há soluções com ambas as condições, então nada
feito.

	Tentemos 11 algarismos, 6 de ordem ímpar e 5 de ordem par. Tem-se I
<= 54 e P <= 45; o único jeito é P=35 e I=46. Para distribuí-los
formando um número pequeno, fazemos:

	I = 46 = 1 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9
	P = 35 = 0 + 8 + 9 + 9 + 9

	e o menor número A é 10.989.999.999

	Finalmente, o número pedido na questao original é então:

	1.098.999.999.999


> Bruno Guimarães wrote:
> 
>  Eu sou novo na lista e gostaria que voces me mostrassem como
> resolver o meu problema, se existe alguma formula para resolve-lo,
> senao de que jeito eu posso resolve-lo, o problema é o seguinte.
> 
>  Qual o menor numero inteiro e positivo que é multiplo de 99, seus
> dois ultimos algarismos sao 99 e a soma de todos os seus algarismos
> da 99.
> 
>  Obrigado
> Bruno