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Re: ajuda



	Maneira 1 de fazer (fatoracao magica; dificil, mas gera todas as
solucoes inteiras se voce quiser):

	i) Fato: a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)
	ii) Se voce tentar usar isto abaixo com a=x, b=-y e ajeitando c para
que apareca o 3abc, e trabalhando um pouco mais, voce verah que:
	(3x-3y-1)(9x^2+9y^2+3x-3y+9xy+1)=1646
	(se voce duvida, abra este produto e verifique que ele eh equivalente
aa equacao abaixo)
	iii) Note que a equacao original implica que x>y (pois x e y sao
naturais!). Como 1646 = 2.823 e 823 eh primo, ha apenas 4 hipoteses a
considerar: 3x-3y-1 = 1,2,823 ou 1646. De fato, notando que 3x-3y-1 eh
da forma 3k-1, somente temos que tentar 2 e 1646.

	3x-3y-1=2 => x=y+1 => 3y^2+3y+1 = y^2+y+61 => y^2+y-30=0 => y=5
	3x-3y-1=1646 => x-y=549 => 3.549.y^2+3.549^2.y+549^3 = y^2 + 549y + 61
=> 1646y^2 + 903654y + 165469088 = 0 => impossivel pois y>=0
	FINAL: Unica solucao natural eh x=6, y=5
	NOTA: Um pouco mais de contas e se acham todas as solucoes inteiras;
basta considerar as hipoteses 3x-3y-1 = 2, 1646, -1, -843...
	
	Maneira 2 de fazer (magica menor):

	Escreva x=y+a para mudar a equacao. Ve-se da equacao que solucoes
naturais implicam que x-y>0, isto eh, a>0. Assim, a eh natural positivo.

	y^3+3ay^2+3a^2y+a^3-y^3=y^2+ay+61
	(3a-1) y^2 + a(3a-1) y + (a^3-61) = 0
	y^2 + ay + (a^3-61)/(3a-1) = 0

	Note que se a>=4 entao P=(a^3-61)/(3a-1) > 0 e ambas as solucoes da
quadratica sao negativas! (soma eh -a, produto eh P). Assim, temos a =
1, 2 ou 3.

	Podemos ir direto aas opcoes, ou notar que -P=(61-a^3)/(3a-1) = y^2 +
ay tem de ser inteiro. Para a=1,2,3 temos -P=30,53/5,34/8; assim, a=1.

	Finalmente y^2+y-30=0 implica y=5 ou y=-6. A unica solucao inteira
serah portanto y=6 e x=5.

	Abraco,
		Ralph

> José Fabrício Maia wrote:
> 
> Ache as soluções naturais da equação x^3 - y ^3 = xy + 61.
> Observação: x^3 ( x elevado a 3)