Re: 2 PROBLEMAS

["André C. Amiune" <amiune@xxxxxxxxxxxxx>]

O enunciado está correto:  Prove que 2^n - 1 é divisível por 3 para todo n
natural par.

Esta questão é bem simples e caiu no vestibular da UFRJ alguns anos atrás.
ACA
-----Mensagem Original-----
De: Benjamin Hinrichs <hinsoft@sinos.net>
Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Enviada em: Domingo, 27 de Fevereiro de 2000 16:34
Assunto: Re: 2 PROBLEMAS


> Marcelo Souza wrote:
> > 1. Prove que 2^n - 1 é divisível por 3 para todo n natural par.
>
> Muito fácil, n=3, 2^3 - 1 = 7, 7 / 3 nE N (onde nE é não pertence). Vc
> deve estar falando de 2^n - (-1)^n. A minha prova é simples, vou
> copiar a mensagem do arquivo.
>
> ==================
> "Benjamin Hinrichs" wrote on 01/01/2000:
>
> Faz alguns dias (não saberia dizer quantos) que entrei no icq e vi que
> estava cheio de gente da lista, abrimos um chat e conversamos um
> pouco.
> Surgiu entretanto um problema no meio: prove que 2^n - (-1)^n  mod 3 =
> 0, ou seja, que 2^n - (-1)^n é divisível por 3, dado n E N (é
> natural),
> n > 0.
> Sugiro que tentem provar e depois ver a minha prova que segue abaixo.
>
> Usei para isto o seguinte teorema (fácil de provar):
> a^k -1 = (a^(k-1) + a^(k-2) + ... + a^2 + a^1 + a^0)*(a - 1)
>
> Se n é par então pode ser denominado 2k (nada de 2000, parem de pensar
> no bug). Portanto 2^2k -(-1)^2k = 4^k -(1)^k = 4^k - 1 = (4^(k-1) +
> 4^(k-2) + ... + 4^2 + 4^1 + 4^0)*(4 - 1) = (4^(k-1) + 4^(k-2) + ... +
> 4^2 + 4^1 + 4^0)*3 (o que é divisível por 3)
> Se n é ímpar então ele pode ser escrito da forma 2k + 1. Portanto
> 2^(2k+1) -(-1)^(2k+1) = 2*2^2k -(-1)*(-1)^2k = 2*4^k + 1 = 4^k - 1 +
> 4^k
> - 1 + 3 (já que 4^k - 1 já foi provado ser divisível por três, 2(4^k
> -1)
> + 3 também é)
>
> Deve haver uma prova ridiculamente simples para este problema. Meu pai
> disse que o enunciado do problema é muito bom, a prova é fácil. Bem,
> eu
> ao menos demorei algum tempinho para descobrir que 1 = - 1 - 1 + 3...
>
> Grande abraço,
>
> Benjamin Hinrichs
>
> ==================
>
> > 2. Dado um triangulo equilatero ABC, toma-se um ponto P do interior de
ABC.
> > TRaça-se AP=3, BP=4, CP=5, calcule o angulo APB.
>
> De primeira não consegui resolver mas vou continuar em cima deste.
>
> Um grande abraço,
>
> Benjamin Hinrichs
>
>