Correção

["Marcos Eike Tinen dos Santos @ ITA @" <mjsanto@xxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Sendo as amplitudes de um triângulo. a', b', c'. Temos que observar que a
soma desta PA, no caso do referido problema tem que ser 180 graus ou pi
radianos.

a'+b'+c' = 180

S3 = 3(a' + c')/2 = 180

3(a'+c') = 360 => a'+c' = 120

Proposta: o termo médio é a média aritmética dos outros dois.

b' = 120/2 => b' = 60

Sendo as halturas de um triângulo, ha, hb, hc temos que observar que as
alturas são perpendiculares aos seus lados opostos.

Pela teoria dos senos temos:

hc = a * sen 60
ha = c * sen 60
Sendo PA como o enunciado disse temos:

hb = (a * sen 60 + c * sen 60)/2

hb = (sen 60 (a + c))/2

hc - hb = a * sen 60 - sen 60 (a + c)/2

Boa Observação: Eu fiz uma cosita errada.. Valeu!!!

Temos na realidade:

2asen 60 -(a+c) sen 60 = sen 60 (a+c) - 2c sen60 =>

sen 60(a - c) = sen60 ( a - c)

a - c = a - c

Provamos que de fato os ângulos estão em PA. Mas, supondo a-c = n temos:

n = n => que de fato a = c, pois a solução será 0 se e só se a = c


Neste caso o triângulo é equilátero..

espero ter ajudado!!!! Acho que deve existir uma solução melhor.



Marcos Eike Tinen dos Santos





Observe que se a = c temos que ha = hb = hc.
Então: Usando o simples teorema dos senos temos:


c/sen c' = b / sen 60  = sen 60 = sen a' => 60 = a', já que outros valores
não o satisfaria.

Substituindo em a'+c' = 120
temos: c' = 60