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Esta pergunta eh de fato
interessante, Luciano.
Se
voce pensar em um sistema linear 2x2, do tipo:
ax+by=c
dx+ey=f
Voce pode ver geometricamente que essas 2 equacoes
representam
retas no plano R2 (tirando alguns casos
excepcionais, que eh facil
tratar a parte, como a eq. 0x+0y=2). Fica claro
entao que as solucoes
sao dadas pela intersecao das duas retas, a qual so
pode ser nenhum
ponto (se as retas forem paralelas), 1 ponto (se
forem concorrentes) ou
uma infinidade (se forem
coincidentes).
No caso mais geral de um sitema linear com m
equacoes e n incognitas,
este problema estah inteiramente resolvido em uma
parte da matematica
chamada Algebra Linear. Nesse caso mais geral, o
papel exercido aqui pelas
retas eh exercido por certos subconjuntos de Rn
chamados hiperplanos, cujas
intersecoes tambem so podem ter nenhum, um ou uma
infinidade de pontos em
comum. (Veja um livro de Algebra
Linear)
Aproveito a oportunidade para dizer que, em que
pese uma nomenclatura que
reconheco muito difundida, nao existe nenhum
sistema linear que seja indeterminado.
Todo sistema linear eh perfeitamente determinado,
isto eh, sabe-se perfeitamente
identificar o conjunto de todas as suas solucoes,
seja ele vazio, ou tenha um so
elemento ou uma infinidade de elementos.
Por
exemplo, o sitema
x+y=2
2x+2y=4
nao eh de modo algum indeterminado. Suas solucoes
sao todos os pares da forma
(t,2-t), com t percorrendo todos os valores reais.
Assim, (1,1) eh solucao; (1,3) nao eh,
e assim por diante. Sabe-se perfeitamente quem eh e
quem nao eh solucao. Existe
algo mais determinado do que
isto?
Alias, os sistemas lineares mais
interessantes
em Algebra Linear sao justamente os que tem uma
infinidade de solucoes, e muitas
vezes a resolucao de certos problemas importantes
equivale a caracterizar esta infinidade
(que serah sempre um [transladado de um]
subespaco).
Vamos banir este termo
"indeterminado" da teoria dos sistemas lineares!
Jose Paulo
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