Re: Geometria

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Sat, 4 Sep 1999, Eduardo Casagrande Stabel wrote:

> Se a,b,c sao lados de um triangulo retangulo e sao inteiros entao o
  produto abc eh sempre um mulltiplo de 60. Como se prova isso?

Basta provar que se a, b, c são inteiros com a^2 + b^2 = c^2 então
(i) o produto abc é múltiplo de 4
(ii) algum dos três números a, b, c é múltiplo de 3
(iii) algum dos três números a, b, c é múltiplo de 5

Primeiro o item (ii).
Suponha por absurdo que nem a, nem b, nem c é múltiplo de 3.
Então temos a^2 = b^2 = c^2 = 1 (mod 3)
(onde as igualdades devem ser lidos como congruências).
Mas 1 + 1 = 1 (mod 3) é claramente falso.

O item (iii) é similar.
Supondo por absurdo que a, b, c são todos não-múltiplos de 5
os possíveis valores para a^2, b^2 e c^2 módulo 5 são 1 e -1.
Uma simples verificação de alguns casos mostra que isto
também leva a uma contradição.

Para o item (i), a diferença é que não basta considerar os valores
módulo 2, é preciso considerá-los módulo 8.
Os valores de x^2 mod 8 quando x = 0,1,2,3,4,5,6,7 são
x^2 = 0,1,4,1,0,1,4,1 e novamente analisando casos vemos
que só podemos ter a^2 + b^2 = c^2 se pelo menos um destes quadrados
for 0 módulo 8, ou seja, se pelo menos um dentre a, b, c for múltiplo de
4.

[]s, N.
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau