Re: Re: Josi e seus sculos

["Eduardo Casagrande Stabel" <duda@xxxxxxxxxx>]

From: The Buddha's Son <mocelim@zaz.com.br>
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> -----Mensagem original-----
> De: Eduardo Casagrande Stabel <duda@hotnet.net>
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Data: Quarta-feira, 1 de Setembro de 1999 14:15
> Assunto: Re: Josi e seus sculos
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> 1) Essa era a dos arcos, eu achei facil. Para mim deu 2^2000 - 2
> 2) Era a da raiz n-esima de 3^a6^b9^c12^d, e para mim o valor maximo de n =
> 33
> 3) Era a de geometria. Achei facil. Era so mostrar que PQ e MN eram os raios
> dos circulos e deduzir que eles eram necessariamente menores que as
> diagonais do quadrado.
> >4) Era a das pecas 1 x n. Essa eu nao sei se acertei. Para mim deu o
> conjunto de valores possiveis de n, { 1, 2, 3, 5, 9, 10 }
> >5) Era a das propabilidades. Essa eu errei com quase certeza. Mas deu 1/3
>  1 + 1/(2^29) )
> >6) x^3 - y^3 = 999. As solucoes, que eu encontrei foram (10,1); (-1, -10);
> (12,9); (-9, -12), e so essas.
> >
> >Deu para ver as minhas respostas. Acho que me sai bem. Se eu tirar uns 45
> pontos ta bom. E espero que a nota de corte nao seja 80 para  terceira fase.
> Era isso.
> >
> >duda
> >
> 1) Divida a circunferjncia em quatro partes iguais. Ati agora, a soma dos
> nzmeros i 6. Repare que tudo o que acontece em um dos quartos do cmrculo,
> acontece igualmente nos outros trjs quartos. Entco vamos trabalhar em um
> deles. No terceiro passo, a soma i 3; no quarto passo, a soma i 3^2; no
> quinto passo, a soma i 3^3. Logo, depois de 1999 a soma sera 6 + 4(3 + 3^2 +
> 3^3 + ... + 3^1997).
>

Acho que voce esta um pouco enganado. A cada soma dos numeros escritos em um passo, somamos duas vezes cada numero que estava escrito anteriormente, pois ele eh extremidade de dois arcos. [Na minha resposta eu fiz besteira] A cada passo, entao, a soma total eh multiplicada por tres, a soma de antes mais as duas vezes do passo. Como no primeiro passo temos 2, no proximo passo teremos 3.2 = 6, no proximo passo 3.6= 18, no proximo 3.18= 54, e no passo 1999 teremos 2.(3^1998), que eh o numero desejado. Se o passo de escrever os dois primeiros numeros nao for o primeiro passo a soma sera 2.(3^1999) (nao estou com a prova e nao me lembro como era o enunciado completo).

> 
> 2) Essa eu nco sei a resposta direito. Ah, e esta i a de Geometria, e nco a
> que vc disse.
> 
> 3) Essa vc sabe: n=33.
> 
> 4) A mesma resposta que a tua, pois i ss calcular os divisores de 90 menores
> ou iguais a 10.

Nao eh so isso. Pois 6 divide 90, no entanto, n nao pode ser n=6. Temos que tentar dispor as pecas, acho que voce ja sabia disso.

> 
> 5) O Nicolau ja informou. Acho que tiro uns 7 pontos na questco.
> 
> 6) Ss encontrei a solugco (10,1).
>

Essa questao eu achei bem dificil. Olha um esboco do que eu fiz. [Os resultados (9,12) obtive com o computador].
x^3 - y^3 = 999
Observe que se (a,b) soluciona o problema, entao (-b,-a) tambem soluciona. Depois veja que:
x^3 - y^3 = 999, fatorando:
( x - y )( x^2 + xy + y^2 ) = 3.3.3.37
A minha ideia foi a seguinte. Igualar x-y aos divisores de 999 ( exemplo x - y =3.3), isolar o x nesse primeiro processo e substitui-lo em x^2 + xy + y^2 igualado ao resto dos divisores de 999. Para:
x) x - y = 3, se obtem a solucao x=12, e y=9.
x) x - y = 9, se obtem a solucao x=10, e y=1.
Nao testei com os outros divisores de 999 pois esse processo eh muito trabalhoso.

Haveria algum modo mais simples para resolver essa questao?


duda