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Ai esta.. Espero estar correto.. Qualquer coisa
(erros meus inclusive :) ) avise.. Acho melhor desenha-las para enxergar melhor.
1) Em primeiro lugar, ligue B a E, formando o
triangulo ABE.
Os angulos ACB e AEB sao
inscritos sob mesmo arco (AB). Portanto, ACB=AEB .
Como AD eh bissetriz, os
angulos CAE e EAB sao iguais, logo os triangulos ACD e AEB sao semelhantes! (3 angulos
iguais).
Entao,
AC / AE = AD / AB , e
substituindo temos: 18/(x+3) = x/10 => x^2 + 3x - 180 = 0 => x = 12!
2) Chame de 'A' e 'B' os angulos de d1 e
d2 respectivamente com a base maior, de modo que
d1 senA = d2 senB = h (altura
do trapézio).
d1 cosA + d2 cosB = B+b (duas
vezes a base media). Para ver isso, note que d1 cosA eh a projecao de d1 sobre a
base maior. (idem para d2 cosB).
Obs: O
raciocinio vale mesmo se a projecao de AB nao "cai" totalmente sobre
DC.
A area do trapezio vale S =
h(B+b)/2 (Para ver isso trace uma diagonal do trapezio e calcule a area
dos dois triangulos formados).
Entao, 2S = (d1cosA +
d2cosB)h = d1cosA*d2senB + d2cosB*d1senA = d1d2(senBcosA + senAcosB) =
d1d2sen(A+B).
E, A+B é exatamente o
angulo entre as duas diagonais. Portanto, a area do trapezio pode ser escrita
como S = d1d2sen(C), onde C eh o angulo entre as diagonais.
Se considerarmos conhecido um
vetor ^d1 com direcao igual a da diagonal d1 e modulo igual ao comprimento da
diagonal (e um ^d2 analogo), entao podemos escrever a area do trapezio como S =
||^d1 X ^d2||. (modulo do produto vetorial).
Mas se conhecemos apenas os
comprimentos das diagonais d1 e d2, entao fica impossivel expressar a area do
trapezio. Pois nao eh possivel escrever o angulo entre as diagonais em funcao
dessas proprias diagonais (nem mesmo sabendo que elas sao diagonais do
trapezio).
Se isso fosse possivel, entao
pelo raciocinio anterior, quaisquer dois trapezios com as mesmas diagonais
deveriam ter a mesma area. Podemos dar um contra exemplo lembrando do retangulo
(os retangulos pdem ser considerados um caso particular dos
trapezios).
Sejam dois retangulos, de
dimensoes (a,b) e (c,d) respectivamente.
Suas areas sao ab e cd e as
diagonais sao (a^2 + b^2)^0.5 e (c^2 + d^2)^0.5 respectivamente.
Nao eh dificil escolher
(a,b,c,d) de modo que a^2+b^2 = c^2+d^2 com (a*b != c*d). Basta tomar a+b != c+d
satisfazendo essas condicoes (obs: !: = diferente). Exemplo: (a,b,c,d) =
(2,4,3,11^0.5). temos 2*4 != 3*11^0.5 e 2^2+4^2 = 20 = 3^3 +
(11^0.5)^2.
-----Original Message-----
From: Elon Santos Corrêa <elon.correa@bbs2.sul.com.br> To: Lista <obm-l@mat.puc-rio.br> Date: Sábado, 27 de Novembro de 1999 22:48 Subject: Exercicios de Geometria
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