Re: Prova de Mat. do IME

["Marcelo Rufino de Oliveira" <rufino@xxxxxxxxxxxxx>]

Eu fiz a questao 2 da prova do IME de outra maneira, gostaria que
apreciassem para ver se estα correta, pois em um ponto da minha resoluηγo
tenho uma dϊvida:

2. Considere a, b e c numeros reais tais que a < b < c. Prove que a equacao
abaixo possui exatamente duas raizes, x1 e x2, que satisfazem a condicao   a
< x1 < b < x2 < c.

Tirando o MMC temos:
(x – b)(x – c) + (x – a)(x – c) + (x – a)(x – b) = 0
Analisemos agora o Polinomio P(x) = (x – b)(x – c) + (x – a)(x – c) + (x –
a)(x – b)     com a < b < c
Vemos que as raizes de P(x) (que sao duas pois P(x) eh do 2o grau)
correspondem as raizes da equacao
1/(x - a) + 1/(x - b) + 1/(x - c) = 0

P(a) = (a – b)(a – c), como   a < b   e   a < c   entao P(a) > 0
P(b) = (b – a)(b – c), como   b > a   e   b < c   entao P(b) < 0
P(a) = (c – b)(c – b), como   c > a   e   c > a   entao P(c) > 0
Pelo Teorema de Bolzano temos que uma das duas raizes de P(x) estah entre a
e b, e a outra estah entre b e c   =>   a < x1 < b < x2 < c

A minha duvida eh se eu poderia analisar os valores de P(a), P(b) e P(c),
que somente olhando para P(x) nao haveria problema, mas a equacao  1/(x - a)
+ 1/(x - b) + 1/(x - c) = 0  nao esta definida para esses valores. Eu
acredito nao haver problema pois as raizes de P(x) sao as raizes da equacao,
mas estas equacoes nao sao identicas, a unica relacao entre elas seria a
igualdade das raizes. Pensei tambem se o problema fosse mais direto "Sendo
P(x) = (x – b)(x – c) + (x – a)(x – c) + (x – a)(x – b), prove que as suas 2
raizes, x1 e x2,  sao tais que  a < x1 < b < x2 < c.", onde com certeza nao
haveria problema na minha resolucao, e sabe-se que as raizes de P(x) = (x –
b)(x – c) + (x – a)(x – c) + (x – a)(x – b)  sγo as raizes de  1/(x - a) +
1/(x - b) + 1/(x - c) = 0, podendo induzir que vale a mesma desigualdade
para ambas.
Falou

Marcelo Rufino