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IMO 1999 (fwd)
Estou (re?)enviando esta mensagem porque ela estava faltando nos meus
arquivos da lista; não sei se esqueci de mandar ou se esqueci de guardar
cópia. Vale a pena pensar nos seis problemas abaixo.
Outro assunto: o nome desta lista tornou-se totalmente inadequado,
pois ela já não tem mais nada a ver com "rj" em particular.
O nome deve ser modificado em breve. O final "@mat.puc-rio.br"
deve permanecer pois não há planos de mudarmos de servidor.
O Gugu sugere "obm-l@mat.puc-rio.br"; alguma contra-proposta?
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau
---------- Forwarded message ----------
Date: Sat, 24 Jul 1999 17:59:42 -0300 (EST)
From: Nicolau C. Saldanha <nicolau@mula.mat.puc-rio.br>
To: obm-rj@mat.puc-rio.br
Subject: IMO 1999
A equipe do Brasil na IMO 1999 voltou ao Brasil ontem com 4 medalhas de
bronze. O resultado foi:
BRA6 - Humberto Silva Naves - 5 + 0 + 3 + 7 + 0 + 2 = 17 (BRONZE)
BRA4 - Sergio Tadao Martins - 4 + 1 + 0 + 5 + 3 + 1 = 14 (BRONZE)
BRA1 - Fabricio Siqueira Benevides - 7 + 0 + 0 + 5 + 1 + 0 = 13 (BRONZE)
BRA2 - Pedro Paulo Gouveia - 4 + 0 + 0 + 1 + 7 + 0 = 12 (BRONZE)
BRA5 - Daniel Nobuo Uno - 5 + 1 + 3 + 1 + 0 + 1 = 11
BRA3 - Daniel Yamamoto - 3 + 2 + 1 + 1 + 0 + 1 = 8
Os vários números representam a pontuação por questão.
Segue ai abaixo a prova (original) em LaTeX. Deve ser legivel (com um
pouco de esforco) sem LaTeX; devo produzir uma versão *.html e publicar
na minha home page dentro dos próximos dias.
A prova está boa, vale a pena tentar fazer antes de olhar as soluções
(acho que este é o melhor treinamento possível para a OBM,
ou para qualquer olimpíada).
Em tempo, havia 1299 mensagens na minha caixa de correio...
[]s, N.
============================================================================
\documentstyle[twoside,12pt]{article}
\input ghmac.tex
\textheight 9in
\textwidth 6in
\hoffset -0.4in
\voffset -1in
\setlength{\headsep}{2cm}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
%\vskip-6cm
%\bigskip
%\input epsf
%\epsfxsize=3cm
%\epsfbox{a5f1.eps}
\hrule
\medskip
Vers\~ao em portugu\^es
\hspace{6.8cm}
Portuguese version
\bigskip
\bigskip
\centerline{\large \bf PRIMEIRO DIA}
\medskip
\centerline{\large Bucareste, 16 de julho de 1999}
\bigskip
\bigskip
\hspace{6.5cm}\begin{tabular}{l}
Tempo de prova: 4 horas e 30 minutos.\\
Cada problema vale 7 pontos.
\end{tabular}
\vspace{2cm}
\noindent{\bf Problema 1.}
\bigskip
\noindent
Determine todos os conjuntos finitos $S$ de pontos do plano
com pelo menos tr\^es elementos que satisfazem a seguinte condi{\c c}\~ao:
\medskip
{\advance\leftskip by 1cm \advance \rightskip by 1cm \parindent=0pt
para quaisquer dois pontos distintos $A$ e $B$ de $S$,
a mediatriz do segmento $AB$ \'e um eixo de simetria de $S$.\par}
\bigskip
\bigskip
\noindent{\bf Problema 2.}
\bigskip
\noindent Seja $n \ge 2$ um inteiro fixo.
\medskip
\begin{description}
\item{(a)} Determinar a menor constante $C$ para a qual a desigualdade
$$ \sum_{1\leq i < j \leq n} x_i x_j(x_i^2 + x_j^2) \leq C\Big(
\sum_{1\leq i \leq n} x_i\Big)^4$$
\'e v\'alida para quaisquer n\'umeros reais $x_1,\ldots,x_n \ge 0$.
\medskip
\item{(b)} Para esta constante $C$, determine quando ocorre a igualdade.
\end{description}
\bigskip
\bigskip
\noindent{\bf Problema 3.}
\bigskip
\noindent
Considere um ta\-bu\-lei\-ro quadrado $n \times n$, onde $n$ \'e um inteiro
positivo par fixo.
O ta\-bu\-lei\-ro est\'a dividido em $n^2$ quadrados unit\'arios.
Dizemos que dois quadrados distintos do tabuleiro s\~ao {\it adjacentes}
se eles t\^em um lado comum.
\smallskip \noindent
Marcam-se $N$ quadrados unit\'arios do tabuleiro de tal forma que
qualquer quadrado (marcado ou n\~ao) \'e adjacente a pelo
menos um quadrado marcado.
\smallskip
\noindent Determine o menor valor poss{\'\i}vel para $N$.
\end{document}
============================================================================
\documentstyle[twoside,12pt]{article}
\input ghmac.tex
\textheight 9in
\textwidth 6in
\hoffset -0.4in
\voffset -1in
\setlength{\headsep}{2cm}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
%\vskip-6cm
%\bigskip
%\input epsf
%\epsfxsize=3cm
%\epsfbox{a5f1.eps}
\hrule
\medskip
Vers\~ao em portugu\^es
\hspace{6.8cm}
Portuguese version
\bigskip
\bigskip
\centerline{\large \bf SEGUNDO DIA}
\medskip
\centerline{\large Bucareste, 17 de julho de 1999}
\bigskip
\bigskip
\hspace{6.5cm}\begin{tabular}{l}
Tempo de prova: 4 horas e 30 minutos.\\
Cada problema vale 7 pontos.
\end{tabular}
\vspace{2cm}
\noindent {\bf Problema 4.}
\bigskip
\noindent Determine todos os pares $(n,p)$ de inteiros estritamente
positivos tais que
\smallskip
\indent \indent $p$ \'e primo,
\smallskip
\indent\indent $n\leq 2p$, e
\smallskip
\indent\indent $(p-1)^n + 1$ \'e divis{\'\i}vel por $n^{p-1}$.
\bigskip
\bigskip
\noindent{\bf Problema 5.}
\bigskip
\noindent
Duas circunfer{\^e}ncias $\Gamma_1$ e $\Gamma_2$ est\~ao contidas
no interior de uma circunfer\^encia $\Gamma$
e s\~ao tangentes a $\Gamma$ em pontos distintos $M$ e $N$,
respectivamente.
A circunfer\^encia $\Gamma_1$ passa pelo centro de $\Gamma_2$.
A reta que passa pelos dois pontos de intersec{\c c}\~ao
de $\Gamma_1$ e $\Gamma_2$ intersecta $\Gamma$ em $A$ e $B$.
As retas $MA$ e $MB$ intersectam $\Gamma_1$ respectivamente
em $C$ e $D$.
\smallskip \noindent
Prove que $CD$ \'e tangente a $\Gamma_2$.
\bigskip
\bigskip
\noindent{\bf Problema 6.}
\bigskip
\noindent Determine todas as fun{\c c}\~oes $f:\RR \to \RR$ tais que
$$
f(x-f(y))=f(f(y)) + x\,f(y)+f(x)-1
$$
\noindent
para quaisquer $x,y\in \RR$.
\end{document}
==============================================================================
[]s, N.
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau