Re: Re: Transfinito e Axioma da Escolha

["Lucas" <mocelim@xxxxxxxxxx>]

É isso aí, Paulo, é assim que devemos pensar e trabalhar pra desenvolver a
tecnologia.
Se nós chegássemos pros caras do século 7, por exemplo, e disséssemos que um
dia as pessoas poderiam se comunicar com outras a milhares de quilômetros
através de uma tela e um teclado, provavelmente seríamos interpretados como
loucos. Se eu disser pra vcs que um dia nascerá o homem que provará uma
fórmula da qual só se obtem fórmulas, ou que no futuro
poderemos viajar no fim de semana para qualquer outra galáxia, isso parecerá
meio louco. E pode até ser. Ou impossível. Porém, não podemos ser radicais e
devemos considerar toda e qualquer idéia e mistério. Afinal, a única certeza
é a incerteza e só sabemos que nada sabemos...

Abraço,

Lucas

-----Mensagem original-----
De: Paulo Santa Rita <p_ssr@hotmail.com>
Para: obm-rj@mat.puc-rio.br <obm-rj@mat.puc-rio.br>
Data: Terça-feira, 20 de Julho de 1999 10:13
Assunto: Transfinito e Axioma da Escolha


>Caros,
>Saudações !
>
>Complementando as instruções do Prof Wagner, é oportuno registrar que
>identificar dois elevado a "alefe zero" - o primeiro numero transfinito e
>que é a "quantidade" de inteiros e racionais - com "C", que é a
"quantidade"
>de números reais é o que se chama "hipotese do continuo" e é uma questão
"em
>aberto" na matematica.
>Godel mostrou que a hipotese do continuo é independente dos demais axiomas
>da teoria dos conjuntos, isto é, se admitirmos a validade da hipotese do
>continuo e acrescentarmos esta validade como mais um axioma da teoria, nada
>ocorre, vale dizer, não surgira contradições... mostrou tambem que a
>reciproca e verdadeira,vale dizer, se negarmos a validade da hipotese do
>continuo e acrescentarmos esta negação como mais um axioma da teoria dos
>conjuntos também nada demais ocorrerá ... assim, a hipotese do continuo é
>independente dos demais axiomas da teoria convencional dos
conjuntos(Peano).
>A teoria  dos conjuntos pode ser dividida em duas partes: com o axioma da
>escolha é chamada "teoria dos conjuntos convencional". Sem o axioma da
>escolha e´chamada teoria dos conuntos restrita".Por que desta distinção ?
>O "Axioma da escolha" afirma que de uma coleção de conjuntos é possivel
>escolher um elemento de cada conjunto da coleção e formar assim um novo
>conjunto". Parece Obvio ? Sim, conforme Peano pensou. Ocorre que a
>"liberdade da função de escolha" permite implicar resultados aparentemente
>contraditorios deste axioma:
>
>Ex1 : Existe uma forma de dividir uma esfera tal que, ao remontar os
>pedaços, resultarão não uma, mas duas esferas identicas a original.
>
>Ex2 : com duas cores, é possivel colorir os pontos de um circulo de forma
>que qualquer triangulo retangulo nele incrito não tenha dois vertices
>pintados com uma mesma cor .
>
>Notar que todos estes resultados falam que "existe uma forma" possivel de
>fazer. Não diz "como" fazer !
>
>Muitos matematicos ilustres, dentre os quais destaco Poincare e Hermam
Weyl,
>demonstraram desconfianças com relação a este axioma e, dai em diante,
quase
>todos os matematicos evitavam utilizar este axioma sob pena de não ter o
seu
>trabalho bem aceito pela comunidade cientifica.
>E neste ponto que entra o "Magistral Godel". Godel mostrou que:
>
>Se a teoria convencional dos conjuntos ( que inclui o axioma da escolha ) é
>inconsistente, isto é, conduz a contradições, então a teoria restrita dos
>conjuntos ( que não inclui o axioma da escolha) também conduzira !
>
>Vale dizer que o axioma da escolha não é o culpado por introduzir
>inconsistencias na teoria dos conjuntos
>
>E interessante observar que muitos "absurdos aparentes", quando devidamente
>digeridos, permitiram ao ser humano fazer coisas maravilhosas. outrora era
>impossivel extrair raiz quadrada de numero negativo e tal operação era tida
>como tão absurda como a operação com a duplicação da esfera do exemplo 1
>acima, demonstrado por Tarski ... Quando passamos a compreender melhor os
>numeros complexos, a ciencia deu um salto enorme e toda a tecnologia e
>fisica contemporaneas são absolutamente inconcebiveis sem eles !... Talvez
o
>mesmo ocorra com o axioma da escolha. Quando nós  aprendermos como
tratá-lo,
>uma mundo espetacular pode estar nos esperando ...
>
>abraços
>Paulo Santa Rita
>3,1008,200799
>
>>From: Eduardo Wagner <wagner@impa.br>
>>Reply-To: obm-rj@mat.puc-rio.br
>>To: obm-rj@mat.puc-rio.br
>>Subject: Re: Dvida
>>Date: Mon, 19 Jul 1999 22:56:48 -0300
>>
>> >> Nao posso dizer com certeza, pois pode ou nao ser verdade....
>> >>
>> >> Lembre-se que um infinito nao eh necessariamente igual a outro
>> >> infinito, tanto que infinito/infinito eh indeterminado, e nao 1
>> >
>> >Quais são os "tipos" de infinitos classificados?
>>
>>Caros amigos: o "menor" infinito que conhecemos eh a quantidade
>>dos numeros naturais. Este infinito eh igual a quantidade dos numeros
>>inteiros e a quantidade dos numeros racionais (incrivel nao?).
>>Um infinito maior que este eh a quantidade dos numeros reais. Este
>>segundo infinito eh igual a quantidade dos pontos de uma circunferencia,
>>e igual ao conjunto dos pontos do plano ou do espaco (mais incrivel,
nao?).
>>Um infinito ainda maior eh o do conjunto das funcoes de R em R. Esses
>>numeros transfinitos sao muito interessantes e ate hoje nao se sabe
>>se existe um infinito entre #N e #R.
>>Wagner.
>>
>>
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