Tricúbicos e balas

["Lucas" <mocelim@xxxxxxxxxx>]

Caro Duda,

a sua solução ao problema dos tricúbicos é parecida com a minha, só que bem
mais curta. Mas a solução ideal é a menor de todas, veja:

Seja 100a + 10b + c o menor número de um par tricúbico (a é diferente de
zero).

-Se c<9, o outro número do par é 100a + 10b + c +1 e temos:
100a + 10b + c = a^3 + b^3 + c^3
100a + 10b + c + 1 = a^3 + b^3 + (c + 1)^3 de onde
a^3 + b^3 + c^3 + 1 = a^3 + b^3 + (c + 1)^3, o que quer dizer que
3c^2 + 3c = 0
e o único valor possível para o dígito c é 0.
Então
100a + 10b = a^3 + b^3
10 (10a + b) = a^3 + b^3 (*)
e temos que a^3 + b^3 é múltiplo de 10.
Observando os cubos de 0 a 9,
tem-se que a condição para que a^3 + b^3 seja múltiplo de 10 é que
b= 10 - a
O único valor de a que satisfaz a equação (*) é a=3;
então temos o par (370, 371).

-Se c=9, a^3 + b^3 + c^3 > 9^3 = 729,
de modo que a é maior ou igual a 7, mas
7^3 + 9^3 = 1072, portanto não há solução...
O único par tricúbico é (370, 371).

Se vc deseja saber os critérios de pontuação para este problema, é o
seguinte:

Demonstra que c não pode ser 9 = 1 ponto
Demonstra que se c<9, então c=0 = 6 pontos
Observa que se c=0, então a^3 + b^3 é múltiplo de 10 e deduz que
a=3 e b= 7 = 3 pontos
A partir de rascunhos incompletos chega a (370, 371) = 5 pontos
Resposta errada = 0 ponto

Este problema é mais matemático que o das 20 balas, com certeza, porém não
quer dizer que seja mais legal... pra uns é, pra outros não. Mas de qualquer
maneira, os dois são problemas de olimpíada e ótimos, pois dão chance para
todos e ao mesmo tempo selecionam os melhores canditdatos... eu creio que é
assim que se deve elaborar as olimpíadas brasileiras...

Obs.: Caro Wagner, no meu colégio, tem uma guria que fez 11 acertos e um
colega meu que fez 12 (na prova do nível 3). E tem outros que fizeram
menos... ela, ele e os outros têm chance de passar pra segunda fase?