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Caro Luiz Ponce,
Para a questao das raizes racionais. Tenho outra resolucao. como a+b+c=0,
entao b= -(a+c). E substituindo-se na formula de Bhaskara (que nem foi bhaskara
que descobriu), o delta precisa ter raiz quadrada racional. Ou seja:
b^2 - 4ac = (a+c)^2 - 4ac = a^2 - 2ac + c^2 = (a - c)^2, entao teremos
logicamente raizes racionais.
Bem, voce fala que nao encontrou aquela questao x[x[x[x]]] = 81 em nenhuma
prova do Conesul, voce poderia me dizer como eu consigo as provas do
Conesul?
duda
----- Original Message -----
Sent: Sunday, July 18, 1999 12:39
PM
Subject: Re: O time carioca é perna de
pau
Caros amigos,
Existe algum "problema" na pergunta
abaixo feita pelo Benjamin Hinrichs:
Na equação ax^2+bx+c=0, a+b+c=0.
prove então que as duas raízes são
racionais.
"Acredito ter faltado falar que, a,b e c são
racionais e a não nulo."
Esta
questão já foi alvo de um grande vestibular de São Paulo, em 1967
para ingresso a Escola Politécnica de São Paulo, da
Universidade de São
Paulo.
Considerando o enunciado da pergunta acima como:
Prove que:
Se a,b e c são números
racionais tais que a + b + c =0 e a não nulo,então
a equação a x2 + b x + c = 0, admite duas raízes
racionais.
Uma demonstração possível
Sendo a + b + c = 0, tem -se evidentemente que 1 é
raiz da equação dada.
Por outro lado,
sendo r a outra raiz da equação, tem-se do
produto das
raízes de
uma equação do segundo grau que, r . 1 = c / a, ou seja
r = c / a.
Portanto, como a e c
são racionais (do enunciado) conclue-se que as raízes
1 e c / a, da equação do segundo grau a x2 +
b x + c = 0, , são números
racionais.
Outra
demonstração possível
De a + b + c = 0, tem-se b
= - a - c .
Assim, a equação a x^2 + b.x
+ c = 0, pode ser reescrita como :
ax2- ax - c x + c = 0. Dai, tem -
se ax( x - 1 ) - c ( x - 1 ) = 0,
ou melhor ainda, (x - 1 ).( a x -
c ) = 0. Portanto, como
do
do enunciado a (não nulo) e c
são números racionais, segue-se
desta última equação, e de sua equivalência com a equação
dada,
que,as raízes da equação
: a x2 + b x + c =
0,
são os números racionais, 1
e c / a.
Mudando um pouco de assunto, em alguns emails atraz
apareceu
o problema, encontrar as raízes
reais da equação:
x.[x .[x
. [x ] ] ] = 88
Foi dito, que a origem
deste problema é a olimpiada do Cone
Sul, o que não é verdade, pois não encontrei ele em nenhuma
das
provas da Cone
Sul. Eu encontrei apenas a
raiz 22 / 7
(
curiosidade, este é um valor aproximado para o número pi,
e muito usado, em construções geométricas). Caso
tenham
interesse em ver a solução eu
passo em attach para vocês e só pedirem.
Mas, eu gostaria que alguém pudesse dizer-me a origem
correta deste problema.
Um a braço a todos
PONCE
Benjamin Hinrichs wrote:
Lucas wrote:
>
> Caro Eduardo Wagner,
>
> como vc explica que, na lista de premiados da Obm, nunca
tem ninguém do RS?
> Será que a gente é mais burro que vcs do Rio ou
dos caras de Fortaleza e São
> Paulo? Não sei, acho que os outros
estados têm uma preparação adequada e a
> gente não tem... qual é a
sua opinião? (alguém já falou sobre isso, achei
> interessante...)
>
> E, resumindo aqueles longos e-mails sobre como deve ser a
segunda fase desta
> Obm: o ideal é que os 5 problemas dêem chance
para o pessoal de cursos
> menores, ou seja: os problemas devem
selecionar os que raciocinarem mais
> efetivamente, e não aqueles que
tem mais conhecimentos por serem mais velhos
> e estarem em cursos
maiores... e não pensem que eu digo isso por ser do
> primeiro ano.
Quando eu estiver no terceiro, repetirei o que digo, pois acho
> que
o principal objetivo da Obm deve ser bem considerado e que as provas não
> podem frustrar nem acabar com a chance dos mais novos...
>
> "Atenciosamente" (desta vez, bem atenciosamente),
>
>
Lucas
Falô e disse,
concordo com o meu amigo gaúcho. Na final da regional
ano passado
comentei de forma curta e grossa que a primeira e terceira
questão
exigiam conhecimento de Pitágoras de Samos e Bhaskara Acharya. A
terceira questão era:
na equação ax^2+bx+c=0, a+b+c=0. prove então
que as duas raízes são
racionais. É muito barbada, façam todos. Não
tenham medo.
Tive dois colegas da sétima que passaram para a final e que
ficaram
indignados com as questões propostas e deixaram sua raiva em
cima de mim
no caminho de volta, tive que agüentar seus papos... Argh!
Abraço,
Benjamin Hinrichs
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