Re: Questco das 20 balas

["Eduardo Casagrande Stabel" <duda@xxxxxxxxxx>]

    Eu entendo perfeitamente a sua posicao, Lucas, mas as questoes devem exigir mais que simples raciocinio, por que se nao voce faria a prova hoje ou daqui um ano e a classificacao teria sido a mesma. Isso porque os candidatos nao vao aprender a raciocinar melhor em um ano, mas aprender matematica eles podem, e muito, e superar os colegas que antes haviam ido melhor que ele, ou seja, isso e' justica. As olimpiadas nao avaliam o Einstein, e sim o esforco e dedicacao de cada um, ou pelo menos e' o que eu entedo que deveriam fazer...
    (Olimpiada de Maio) Nao fui participar da tal prova, mas fiz ela em casa questao de dias depois. E consegui resolver essa questao que devo acrescentar e' BEM mais matematica que aquela das balas (agora vou pegar no seu pe, hehehe). Se alguem se interessar em ler a minha resolucao, que leia:
    Suponhamos um numero de tres algarismos abc, entao a soma de seus cubos seria a^3+b^3+c^3, e o numero seria 100a+10b+c. O problema diz que dois numeros consecutivos devem ser hipercubos. Ou seja:
a^3 + b^3 + (c-1)^3 = 100a + 10b + (c-1)
a^3 + b^3 + c^3 = 100a + 10b + c
Isso, claro so vale para os c's maiores que 0. Depois vejamos o caso onde c=0...
Diminuindo a segunda equacao da primeira resulta:
3c^2 - 3c + 1 = 1; que resulta que so teremos essa equacao verdadeira se c=1. Entao:
a^3 + b^3 = 100a + 10b
a e b nao podem ser ambos nulos. E como o lado esquerdo da equacao tem que ser par, a e b tem que possuir a mesma paridade. O lado direito da equacao acaba em ..0, primeiro vejamos qual os cubos dos 9 primeiros numeros, so a terminacao:
1:1,    3:7,    5:5,    7:3,    9:9
2:8,    4:4,    6:6,    8:2.
As possiveis somas sao 2,8; 4,6; 1,9; 3,7. Desse somente o 3,7 verifica a equacao a^3+b^3=100a+10b, e entao os numeros 370 e 371 sao tricubos vizinhos.
Agora vejamos a possibilidade de c=0, as equacoes ficariam assim:
a^3 + b^3 + 0 = 100a + 10b
a^3 + (b-1)^3 + (9)^3 = 100a + 10b + 9    (o numero que era ..X0, tem seu inferior ..(X-1)9 )
Subtraindo a primeira da segunda fica: 3b^2 - 3b + 1 - 9^3 = -9, e essa equacao nao tem solucao para b<10, logo a unica solucao eh (370,371).
Os unicos casos que nao foram avaliados sao onde o b=0 e c=0, avaliemo-nos. Nao ha solucao pois para um numero ser da forma a*100, ele precisa ser multiplo de 2 e de 5 ao mesmo tempo, ora o mmc(2,5)=15>9!, absurdo, e concretizando a resolucao.
Que prova longa, nao eh?

duda
        

----- Original Message ----- 
From: Lucas <mocelim@zaz.com.br>
To: <obm-rj@mat.puc-rio.br>
Sent: Saturday, May 08, 1999 3:51 PM
Subject: Questão das 20 balas


Caro Duda,

sua opinião e a de seu professor não estão corretas a meu ver, mas gosto não
se descute. Tanto é que o Benjamin concordou inteiramente comigo...

Na sua opinião, a olimpíada deveria servir para selecionar os mais
matemáticos, mas isto eu não creio ser verdade. A olimpíada deve ser um
estímulo para os estudantes participantes; serve para estes gostarem mais de
matemática, para que se interessem mais. Bem, isto eu já especifiquei num
e-mail anterior. Então, a questão das duas crianças, ao meu ver, é uma das
mais bem elaboradas que eu já vi numa olimpíada de matemática, pois qualquer
aluno inteligente, se pensar bem, acerta o problema, e isto é maravilhoso.
Um cara de primeiro ano pode acertar, e isto é magnífico, pois ele vai se
interessar mais. Agora, imagine se, ao invés deste problema, a comissão da
Obm tivesse resolvido colocar um problema de teatedro regular com círculos e
uma equação bem "matemática". Te pergunto: o carinha inteligente do primeiro
ano iria acertar? Pois eu respondo: Ia tirar um zero bem redondo na questão,
e ia se decepcionar; nem pensar ele ia conseguir, porque não sabe nenhuma
das matérias exigidas pelo problema. Já o das balas, ele PODE acertar, mas
para isso precisará pensar bastante. E este problema foi, com certeza, um
dos que melhor selecionou os candidatos para a terceira fase; este problema
tem o poder de ver quem sabe raciocinar bem, mesmo que não tenha os mesmos
conhecimentos que um cara do terceiro ano, e isto é muito bom. E o objetivo
principal da Obm é posto em prática quando um aluno senta e tenta resolver
este problema, cujo ele tem condições de acertar e dar um sorriso triunfal,
enquanto que um problema mais "matemático" acaba com todas as suas chances
de se sair vitorioso da segunda fase.

Portanto, eu acho que este problema deve servir como uma base para os
organizadores da Olimpíada Brasileira de Matemática ao determinar os
problemas desta segunda fase. TODOS devem ter chance; quem pensar melhor,
passa. Isso se chama JUSTIÇA. E se os organizadores se preocuparem em bolar
problemas para que só os mais matemáticos passem para a terceira fase,
POUCOS terão chance, e aí eu já não gosto da idéia. Logo, peço para o Duda
pensar melhor (e o seu professor) quanto a esta situação e para a comissão
elaborar uma prova na qual todos tenham chance, para que ninguém fique
cabisbaixo e indignado após fazer a segunda fase.

Observem a V Olimpíada de Maio - 1999 Nível 2 (alunos de até 15 anos). Os 5
problemas eram legais, interessantes e criativos. Todos os participantes
(alunos de oitava série e primeiro ano, em sua maioria) tiveram chance, pois
os problemas eram super difíceis porém não exigiam matérias muito avançadas.
E este é o ideal, pois ninguém disse "ah, que injustiça, eu nunca vi isso
antes, o que eles querem, que eu acerte uma coisa que eu nunca vi em toda a
minha vida? E aí Lucas, vc já aprendeu isso em algum lugar? Eu, com certeza,
errei todas e nunca mais me inscrevo numa olimpíada. Que mer**." Isso eu não
escutei, graças a Deus (ou melhor, graças àqueles que fizeram os problemas).
Vejam o primeiro problema:

PROBLEMA 1
Um número natural de três dígitos é chamado de tricúbico se for igual à soma
dos cubos de seus algarismos. Determine todos os pares de números
consecutivos tais que ambos sejam tricúbicos.

Este era, na minha opinião, um dos mais difíceis problemas da prova. Diga-se
de passagem, eu fui o único da escola que acertou a questão (tinha uns 40
alunos participando neste nível, inclusive o meu colega que venceu a
olimpíada regional aqui no RS). Porém, ninguém reclamou; pelo contrário, se
interessaram um monte e, no final da prova, vieram me perguntar: "E aí
Lucas, achou algum tricúbico na primeira questão?"

E se o problema fosse mais complicado, com uma matéria muito mais avançada,
o que aconteceria? Simplesmente ninguém dos 40 alunos acertaria, e ninguém
falaria do problema, a não ser "como eu vou saber, não sou formado em
matemática!".

E isso com certeza não é necessário, pois já se pode ver os melhores
candidatos com o primeiro problema, cujo conteúdo não é avançado, pois até
um cara de sexta ou sétima série pode entender o que se pergunta, e ao mesmo
tempo é muito difícil de achar o par pedido. Tente achar, inclusive...

Precisamos pensar sobre isso, pois estamos lidando com o ensino de
matemática do país...

Abraço,

Lucas

Obs.: Caro Benjamin, é muito bom saber que vc é sempre o último a sair das
olimpíadas. Eu também sempre saio por último; das 5 ou 6 que já participei,
em todas eu fui o último a sair, e usei até o último segundo para resolver
os problemas. Acho que este é o certo...