Re: Questco das 20 balas

["Eduardo Casagrande Stabel" <duda@xxxxxxxxxx>]

    Eu entendo perfeitamente a sua posicao, Lucas, mas as questoes devem exigir mais que simples raciocinio, por que se nao voce faria a prova hoje ou daqui um ano e a classificacao teria sido a mesma. Isso porque os candidatos nao vao aprender a raciocinar melhor em um ano, mas aprender matematica eles podem, e muito, e superar os colegas que antes haviam ido melhor que ele, ou seja, isso e' justica. As olimpiadas nao avaliam o Einstein, e sim o esforco e dedicacao de cada um, ou pelo menos e' o que eu entedo que deveriam fazer...
    (Olimpiada de Maio) Nao fui participar da tal prova, mas fiz ela em casa questao de dias depois. E consegui resolver essa questao que devo acrescentar e' BEM mais matematica que aquela das balas (agora vou pegar no seu pe, hehehe). Se alguem se interessar em ler a minha resolucao, que leia:
    Suponhamos um numero de tres algarismos abc, entao a soma de seus cubos seria a^3+b^3+c^3, e o numero seria 100a+10b+c. O problema diz que dois numeros consecutivos devem ser hipercubos. Ou seja:
a^3 + b^3 + (c-1)^3 = 100a + 10b + (c-1)
a^3 + b^3 + c^3 = 100a + 10b + c
Isso, claro so vale para os c's maiores que 0. Depois vejamos o caso onde c=0...
Diminuindo a segunda equacao da primeira resulta:
3c^2 - 3c + 1 = 1; que resulta que so teremos essa equacao verdadeira se c=1. Entao:
a^3 + b^3 = 100a + 10b
a e b nao podem ser ambos nulos. E como o lado esquerdo da equacao tem que ser par, a e b tem que possuir a mesma paridade. O lado direito da equacao acaba em ..0, primeiro vejamos qual os cubos dos 9 primeiros numeros, so a terminacao:
1:1,    3:7,    5:5,    7:3,    9:9
2:8,    4:4,    6:6,    8:2.
As possiveis somas sao 2,8; 4,6; 1,9; 3,7. Desse somente o 3,7 verifica a equacao a^3+b^3=100a+10b, e entao os numeros 370 e 371 sao tricubos vizinhos.
Agora vejamos a possibilidade de c=0, as equacoes ficariam assim:
a^3 + b^3 + 0 = 100a + 10b
a^3 + (b-1)^3 + (9)^3 = 100a + 10b + 9    (o numero que era ..X0, tem seu inferior ..(X-1)9 )
Subtraindo a primeira da segunda fica: 3b^2 - 3b + 1 - 9^3 = -9, e essa equacao nao tem solucao para b<10, logo a unica solucao eh (370,371).
Os unicos casos que nao foram avaliados sao onde o b=0 e c=0, avaliemo-nos. Nao ha solucao pois para um numero ser da forma a*100, ele precisa ser multiplo de 2 e de 5 ao mesmo tempo, ora o mmc(2,5)=15>9!, absurdo, e concretizando a resolucao.
Que prova longa, nao eh?

duda
        

----- Original Message ----- 
From: Lucas <mocelim@zaz.com.br>
To: <obm-rj@mat.puc-rio.br>
Sent: Saturday, May 08, 1999 3:51 PM
Subject: Quest�o das 20 balas


Caro Duda,

sua opini�o e a de seu professor n�o est�o corretas a meu ver, mas gosto n�o
se descute. Tanto � que o Benjamin concordou inteiramente comigo...

Na sua opini�o, a olimp�ada deveria servir para selecionar os mais
matem�ticos, mas isto eu n�o creio ser verdade. A olimp�ada deve ser um
est�mulo para os estudantes participantes; serve para estes gostarem mais de
matem�tica, para que se interessem mais. Bem, isto eu j� especifiquei num
e-mail anterior. Ent�o, a quest�o das duas crian�as, ao meu ver, � uma das
mais bem elaboradas que eu j� vi numa olimp�ada de matem�tica, pois qualquer
aluno inteligente, se pensar bem, acerta o problema, e isto � maravilhoso.
Um cara de primeiro ano pode acertar, e isto � magn�fico, pois ele vai se
interessar mais. Agora, imagine se, ao inv�s deste problema, a comiss�o da
Obm tivesse resolvido colocar um problema de teatedro regular com c�rculos e
uma equa��o bem "matem�tica". Te pergunto: o carinha inteligente do primeiro
ano iria acertar? Pois eu respondo: Ia tirar um zero bem redondo na quest�o,
e ia se decepcionar; nem pensar ele ia conseguir, porque n�o sabe nenhuma
das mat�rias exigidas pelo problema. J� o das balas, ele PODE acertar, mas
para isso precisar� pensar bastante. E este problema foi, com certeza, um
dos que melhor selecionou os candidatos para a terceira fase; este problema
tem o poder de ver quem sabe raciocinar bem, mesmo que n�o tenha os mesmos
conhecimentos que um cara do terceiro ano, e isto � muito bom. E o objetivo
principal da Obm � posto em pr�tica quando um aluno senta e tenta resolver
este problema, cujo ele tem condi��es de acertar e dar um sorriso triunfal,
enquanto que um problema mais "matem�tico" acaba com todas as suas chances
de se sair vitorioso da segunda fase.

Portanto, eu acho que este problema deve servir como uma base para os
organizadores da Olimp�ada Brasileira de Matem�tica ao determinar os
problemas desta segunda fase. TODOS devem ter chance; quem pensar melhor,
passa. Isso se chama JUSTI�A. E se os organizadores se preocuparem em bolar
problemas para que s� os mais matem�ticos passem para a terceira fase,
POUCOS ter�o chance, e a� eu j� n�o gosto da id�ia. Logo, pe�o para o Duda
pensar melhor (e o seu professor) quanto a esta situa��o e para a comiss�o
elaborar uma prova na qual todos tenham chance, para que ningu�m fique
cabisbaixo e indignado ap�s fazer a segunda fase.

Observem a V Olimp�ada de Maio - 1999 N�vel 2 (alunos de at� 15 anos). Os 5
problemas eram legais, interessantes e criativos. Todos os participantes
(alunos de oitava s�rie e primeiro ano, em sua maioria) tiveram chance, pois
os problemas eram super dif�ceis por�m n�o exigiam mat�rias muito avan�adas.
E este � o ideal, pois ningu�m disse "ah, que injusti�a, eu nunca vi isso
antes, o que eles querem, que eu acerte uma coisa que eu nunca vi em toda a
minha vida? E a� Lucas, vc j� aprendeu isso em algum lugar? Eu, com certeza,
errei todas e nunca mais me inscrevo numa olimp�ada. Que mer**." Isso eu n�o
escutei, gra�as a Deus (ou melhor, gra�as �queles que fizeram os problemas).
Vejam o primeiro problema:

PROBLEMA 1
Um n�mero natural de tr�s d�gitos � chamado de tric�bico se for igual � soma
dos cubos de seus algarismos. Determine todos os pares de n�meros
consecutivos tais que ambos sejam tric�bicos.

Este era, na minha opini�o, um dos mais dif�ceis problemas da prova. Diga-se
de passagem, eu fui o �nico da escola que acertou a quest�o (tinha uns 40
alunos participando neste n�vel, inclusive o meu colega que venceu a
olimp�ada regional aqui no RS). Por�m, ningu�m reclamou; pelo contr�rio, se
interessaram um monte e, no final da prova, vieram me perguntar: "E a�
Lucas, achou algum tric�bico na primeira quest�o?"

E se o problema fosse mais complicado, com uma mat�ria muito mais avan�ada,
o que aconteceria? Simplesmente ningu�m dos 40 alunos acertaria, e ningu�m
falaria do problema, a n�o ser "como eu vou saber, n�o sou formado em
matem�tica!".

E isso com certeza n�o � necess�rio, pois j� se pode ver os melhores
candidatos com o primeiro problema, cujo conte�do n�o � avan�ado, pois at�
um cara de sexta ou s�tima s�rie pode entender o que se pergunta, e ao mesmo
tempo � muito dif�cil de achar o par pedido. Tente achar, inclusive...

Precisamos pensar sobre isso, pois estamos lidando com o ensino de
matem�tica do pa�s...

Abra�o,

Lucas

Obs.: Caro Benjamin, � muito bom saber que vc � sempre o �ltimo a sair das
olimp�adas. Eu tamb�m sempre saio por �ltimo; das 5 ou 6 que j� participei,
em todas eu fui o �ltimo a sair, e usei at� o �ltimo segundo para resolver
os problemas. Acho que este � o certo...