Área de Elipse

[civ98020@xxxxxxxxxxxx]

  Outro dia entrei na lista e encontrei uma demonstração para a área de uma
elipse mas a pessoa que havia demonstrado não tinha inteira convicção de
sua demonstração, observando sua demonstração me recordei de um princípio
elaborado por um matemático italiano chamado Cavalieri.
  Cavalieri diz que considerando duas figuras planas F e F', apoiadas sobre
uma mesma reta horizontal.O princípio de Cavalieri afirma que:"se qualquer
reta horizontal secciona F e F', segundo segmentos de comprimentos s e s',
tais que que a razão entre esses segmentos é uma constante K, então as
áreas de F e F' estão tmbém na mesma razão K".
 A gora imagine uma elipse(figura F) e uma circunferencia(figura F') de
equações (x/a)^2+(y/b)^2=1 e x^2+y^2=b^2 respectivamente.Considere uma reta
hotizontal que seccione F e F' segundo segmentos de comprimentos s e s',
então podemos concluir que a razão K é dada por s/s'=a/b. Se essa razão é a
mesma para suas áreas e, segundo Cavalieri, considerando A-área da elipse e
A'-área da circunferencia, então teremos:
  
  A/A'=a/b
  A/Pi*b^2=a/b  Canselando: A=Pi*a*b   
                                     c.q.d.

               Portilho.