Re: Dvida

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On 26 Jun 1999, Cristian Flores Silva wrote:

>  Alguém poderia me dizer se:
> 
>  infinito + 1 > infinito

Esta questão, como várias outras que já apareceram nesta lista,
é questão de definição (ou seja, de gosto, conveniência, utilidade...).
Mas ao contrário da maioria destas outras perguntas (se 0 é natural,
se 1 é primo, se 0,9999999999999... = 1) esta admite várias respostas
diferentes, cada uma delas usual em uma área diferente da matemática.
Usarei inft para o sinal usual de infinito.

Em cálculo é conveniente considerar o conjunto 
[- inft, + inft] = R U {-inft, +inft}.
A conveniência vem de que neste conjunto várias propriedades de R se
tornam mais simples, por exemplo: toda seqüência monótona tem limite,
todo conjunto tem supremo, toda seq tem um lim inf e um lim sup e ela
converge sse estes dois valores são iguais,...
Neste conjunto definimos as operações de + e * e as funções elementares
passando ao limite: assim +inft + a = +inft para qualquer real a
mas (+inft) + (-inft) não está definido. Em particular +inft + 1 = +inft.

Em teoria dos conjuntos definimos números cardinais: dois conjuntos A e 
B têm o mesmo cardinal sse existe uma bijeção entre A e B; o cardinal de A
é menor ou igual ao cardinal de B sse existe uma função injetora de A em
B. Assim, demonstra-se que os cardinais de N, Z e Q são todos iguais
entre si, que os cardinais de R e C também são iguais entre si, mas que o
cardinal de N é estritamente menor que o cardinal de R. Existem assim
muitos cardinais infinitos diferentes. Se denotarmos o cardinal de um
conjunto A por |A|, definimos |A| + |B| = |A U B| se A e B forem disjuntos
e |A| * |B| = |A x B| (produto cartesiano); demonstra-se entretanto que se
|A| e |B| são infinitos com |A| <= |B| então |A| + |B| = |A| * |B| = |B|,
o que significa que estas operações com cardinais não são muito
interessantes. Se o inft na pergunta for interpretado como um cardinal
infinito então inft + 1 = inft.

Por outro lado define-se em teoria de conjuntos o conceito de número
ordinal: um ordinal é um conjunto transitivo totalmente ordenado pela
relação de pertence (Z é transitivo sse sempre que X pertence a Y e
Y pertence a Z temos X pertence a Z). As operações + e * são definidas
sobre os ordinais da mesma forma que sobre os naturais, exceto que devemos
usar uma outra forma de indução, chamada indução transfinita. Para
responder a pergunto inicial, basta notar que definimos a + 1 = a U {a}
para qualquer ordinal a (isto é o ponto de partida da indução). Se o a=inft
na pergunta for interpretado como um ordinal então, de acordo com esta
definição, é claro que a + 1 > a. Por outro lado temos 1 + a = a para
qualquer ordinal infinito a (isto mesmo: a adição de ordinais não é
comutativa).

Já mencionei em outro e-mail os números surreais de Conway: não vou
repetir o que eu falei em outra ocasião mas estes números satisfazem
propriedades algébricas muito parecidas com a dos reais. Em particular,
a + 1 > a para qualquer surreal a. Assim, se o a=inft na pergunta for
interpretado como um número surreal então a + 1 = 1 + a > a. Uma situação
um pouco parecida onde aparecem infinitos é em análise não-standard:
aqui novamente a + 1 > a para todo a, finito ou infinito.

Como você vê, a resposta para sua pergunta depende de exatamente que tipo
de infinito você tem em mente...

[]s, N.
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau