Re: N�mero

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Sun, 29 Aug 1999, Dopelg�nger wrote:

> > � exatamente isso. E
> > 
> > 2 = {{},{{}}}
> > 3 = {{},{{}},{{},{{}}}}
> > 4 = {{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}}}
> 
> Que demais! Tudo definido em cima do vazio!

Super budista.

> > Existem. Os ordinais de Cantor, por exemplo, formam uma esp�cie
> > de an�logo transfinito dos naturais onde depois de infinitos passos
> > voc� *continua*:
> 
> Existem transfinitos dos reais e dos complexos? Que outros tipos de n�meros
> "estranhos" existem?

Os surreais de Conway s�o o equivalente (ou um equivalente)
a reais transfinitos. Eles incluem n�meros como
1/w = {0|1,1/2,1/4,1/8,1/16,...}
w/2 = {0|w}
sqrt(w) = {0,1,2,3,4,5,...|w,w/2,w/4,w/8,...}

> > 0, 1, 2, 3, ...; w, w+1, w+2, w+3, ...; w2, w2+1, ...;...;......; w^2,
> ..
> > 
> > Um ordinal � um conjunto X com as seguintes propriedades:
> > 
> > Se Z \in Y e Y \in X ent�o Z \in X.
> > (aqui \in significa "pertence", "� elemento de")
> 
> Como s�o os conjuntos que n�o obedecem essa propriedade? Parece que tudo o
> que eu conhe�o nesse mundo a obedece... 

O conjunto X = {{{}}} n�o tem esta propriedade:
tome Y = {{}} e Z = {}. 

> > w = {0,1,2,3,...} (o conjuntodos naturais)
> > 
> > � o menor ordinal infinito.
> 
> w2 = {0,1,2,3... , w, w+1...} . Est� certo? O que ele seria, o menor
> ordinal "bi-infinito"??

N�o existe um conceito usual de bi-infinito. E existem n�meros
*muito* maiores do que estes.

> Qual a aplica��o pr�tica dos ordinais de Cantor?

Em l�gica e teoria dos conjuntos eles s�o muito importantes.
Fora da� n�o tanto, e muitos matem�ticos n�o se interessam por ordinais.

> > > > um n�mero � um par de conjuntos de n�meros, que poder�amos escrever
> assim
> > > 
> > > Isso n�o � uma "defini��o circular", que n�o chega a lugar algum? Pra
> voce
> > > saber o que � um n�mero, voce precisa antes saber o que � um n�mero...
> > 
> > A defini��o de certa forma � circular, mas nem por isso in�til.
> > Veja, sempre podemos construir o n�mero
> > 
> > 0 = {|}
> > 
> > Afinal, todos os seus elementos tanto � esquerda quanto � direita s�o
> > n�meros! Tamb�m � verdade que todos os seus elementos s�o vacas
> > esf�ricas...
> 
> h�?? 

N�o h� nenhum elemento � esquerda ou � direita. Logo todos s�o vomplas...
Vacas esf�ricas s�o famosas por terem uma distribui��o uniforme de leite.

> > Voc� pode dar uma olhada em:
> > On Numbers and Games, J. H. Conway
> > Surreal Numbers, D. Knuth
> > ou nas minhas notas de um antigo col�quio em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/papers/jogos.tgz
> 
> Que tipo de arquivo � esse? N�o sei se eu consigo abrir...

Repetindo e-mail anterior, os endere�os corretos s�o:
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/papers/jogos.tar.gz
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/papers/jogos.ps.gz

O final *.gz significa que o arquivo foi compactado com gzip.
Um *.ps � um arquivo pronto para ser mandado para uma impressora.
Um *.tar cont�m v�rios arquivos. No caso, arquivos *.tex,
que voc� pode ler com um editor qualquer mesmo se voc� n�o tiver TeX
(ou n�o souber o que � TeX).
Algumas vezes arquivos *.tar.gz s�o chamados de *.tgz,
da� minha confus�o. 

Leia intru��es na minha home page sobre o que fazer com estes arquivos.
Ou espere algum tempo, estou planejando criar vers�es *.html de todas
as minhas publica��es.

Ah sim, outra alternativa:
mande um n�mero de fax e eu envio o artigo por fax.

[]s, N.
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau