Re: Naturais

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Sun, 13 Jun 1999, Eduardo Wagner wrote:

> >Em problemas de olimpíadas, devemos considerar o 0 pertencente aos
> >naturais??
> >
> >Como é essa questão do 0???
> >
> ><Bruno>
> 
> Caro Bruno: o 0 pertence ou nao aos naturais de acordo com a conveniencia
> do problema. Nao ha nada obrigatorio.
> Abraco, Wagner.

Esta é uma questão de definição/conveniencia/história/gosto.
O próprio Peano publicou seus famosos axiomas seguindo convenções
diferentes em ocasiões diferentes. Se você consultar vários livros
em uma boa biblioteca verá que alguns definem os naturais começando
com 0 e outros começando com 1. Os dois conjuntos {0,1,2,3,...} e
{1,2,3,4,...} são importantes.

Tendo dito isso, gostaria de dizer que eu sou francamente pro zero-natural
e apresentar alguns argumentos:

* A pergunta mais fundamental envolvendo números é "quantos x existem",
como em "quantos alunos foram classificados para a última fase da OBM?",
"quantos brasileiros já ganharam uma medalha de bronze em uma cone sul"
ou "quantas brasileiras já tiraram medalha de ouro em uma OIM?".
Que tipo de número serve como resposta? Um elemento de {0,1,2,3,...}.
Esta pergunta é tão fundamental que este tipo de número merece um nome
melhor do que "inteiro maior ou igual a zero". Em outras palavras,
a resposta deve ser sempre um natural, independentemente de acidentes
históricos e fatos empíricos, como o de até hoje nenhuma brasileira
ter ganhado uma medalha de ouro em uma OIM.

* Outro tipo de razão é a conveniência matemática. Explico: em muitos
problemas devemos chamar as posições/casas/cartas/buracos/... de, digamos,
a0, a1, a2,... *ou* de a1, a2, a3, ... Na maioria das situações é
totalmente irrelevante qual das duas numerações nós seguimos.
Mas em muitos problemas *importa*, e minha avaliação pessoal é que
é muito mais comum ser melhor numerar a partir de 0 do que a partir de 1.
O exemplo mais óbvio é o dos anos: se existisse ano 0 o século mudaria
de 1999 para 2000, o que é bem mais bonitinho e razoável do que mudar de
2000 para 2001.

* Na teoria dos conjuntos não podemos de forma alguma deixar de considerar
o conjunto vazio. E definimos números que contam além do infinito, os
números ordinais. As definições usuais todas quebram se tentamos excluir o
zero. Um ordinal é um conjunto transitivo totalmente ordenado pela relação
"pertence", isto é, X é um ordinal se e somente se:

   - se Z \in Y e Y \in X então Z \in X

   - se Z \in X e Y \in X então vale uma das alternativas:

         - Z \in Y
         - Z = Y
         - Y \in Z


[]s, N.
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau