Re: Número

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Mon, 3 May 1999, Dopelgänger wrote:

> Existe definição para Número???

Não entendi bem a natureza da pergunta, mas certamente o Aurélio
ganha prêmio com a *pior* definição de número que eu já vi:
"numero: O conjunto de todos os conjuntos equivalentes a um conjunto dado."
Não é brincadeira. Acabei de conferir no dicionário.
Esta definição consegue ser ao mesmo tempo incompreensível,
sem sentido e errada.

Mais seriamente, matemáticos em geral não definem número.
O máximo que eles fazem é construir números.
Um exemplo de construção para os naturais na teoria dos conjuntos
é o seguinte:

Um numero natural é um conjunto finito X com as seguintes propriedades:

Se Z \in Y e Y \in X então Z \in X.
(aqui \in significa "pertence", "é elemento de")

Se Z \in X e Y \in X então vale uma das três possibilidades:

   Z \in Y
   Z = Y
   Y \in Z

Chamamos o conjunto vazio de 0 (zero) e definimos

n + 1 = n U {n}
(aqui U significa união e {n} é o conjunto cujo único elemento é n)

A partir daí podemos definir as operações + e *, a ordem < e
demonstrar as propriedades usuais dos naturais.

Existem construções também para os reais, para os complexos e até
para classes maiores de números que incluem números infinitamente grandes.
Um exemplo de construção deste tipo é a de Conway para números surreais:

um número é um par de conjuntos de números, que poderíamos escrever assim

x = ({xl0,xl1,...},{xr0,xr1,...})

mas que preferimos escrever assim

x = {xl0,xl1,... | xr0,xr1,...}

com a seguinte propriedade:
nenhum número do lado direito é menor ou igual
que nenhum número do lado esquerdo.

Dizemos que x <= y se nenhum yr é menor ou igual a x e
y não é menor ou igual a nenhum xl.
 
Definimos também 
x + y = {xl + y, x + yl | xr + y, x + yr},
-x = { -xr | -xl }
e
x * y = { x * yl + xl * y - xl * yl, x * yr + xr * y - xr * yr |
          x * yr + xl * y - xl * yr, x * yl + xr * y - xr * yl}.

Com esta construção temos números infinitamente grandes e também
infinitesimais, além dos números reais nossos velhos conhecidos.
Bem, provavelmente seria necessário dar explicações longas para que
estas definições/construções pudessem ficar claras...
Se alguém estiver interessado posso dar referência ou falar mais
sobre o assunto.

[]s, N.
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau