Re:Questão de Olimpiada

["Iolanda Brazão" <iolanda_marta@xxxxxxxxxxx>]

Caro professor Nicolau

fico muito grata pela resposta que o Sr me deu, mas não consegui entendê-la 
ou, como acredito, não consegui explicar a questão corretamente

Se eu tenho 1 casa e P cores, deve ser f(1) = P
Se eu tenho 2 casas e, digamos, 2 cores(ex : verde e amarelo), deve ser f(2) 
= 1, pois "verde e amarelo" e "amarelo e verde"  é a mesma pintura se vista 
"ao longo de uma circunferencia ..."

Acredito que esqueci de dizer que as casas, pelo que entendo do problema, 
são indistinguíveis...

Muito agradecida

Iolanda Marta


>From: "Nicolau C. Saldanha" <nicolau@mat.puc-rio.br>
>To: Iolanda Brazão <iolanda_marta@hotmail.com>
>CC: majordomo@mat.puc-rio.br, nicolau@saci.mat.puc-rio.br
>Subject: Re:Questão de Olimpiada
>Date: Sun, 30 May 1999 15:03:13 -0300 (EST)
>
>subscribe obm-rj iolanda_marta@hotmail.com
>end
>==============================================================================
>On Sat, 29 May 1999, Iolanda Brazão wrote:
>
> > Alô
> >
> > Sou excelente aluna de matematica. Tentei, tentei e não consegui 
>resolver a
> > questão que a OBM enviuo:
> >
> > Ao longo de uma circunferencia dispões de "N" casas. Com "P" cores, de
> > quantas maneiras diferentes é possivel pintar estas casas de forma que,
> > sempre, duas casas quaisquer vizinhas não sejam pintadas com  a mesma 
>cor ?
> >
> > Sera que alguém pode me ajudar ? Sera que o Nicolau pode resolver esta
> > questão para mim ?
> >
> > Abraços
> >
> > Iolanda Marta
>
>Seja f(N) a resposta do problema e g(N) a resposta do problema análogo
>quando as casas estão *em fila*.
>Temos f(1) = 0, f(2) = P(P-1), f(3) = P(P-1)(P-2).
>
>Temos g(N) = P (P-1)^(N-1).
>De fato, temos P opções para a primeira casa, P-1 para a segunda,...,
>P-1 para a última.
>
>Por outro lado, g(N) = f(N) + f(N-1).
>De fato, se as duas casa nos extremos têm cores diferentes
>isto nos dá uma forma de pintar N casas em círculo.
>Se as duas casa nos extremos têm cores iguais
>isto nos dá uma forma de pintar N-1 casas em círculo
>(eliminando uma das casas extremas).
>
>Agora,
>
>f(N) = (f(N) + f(N-1)) - (f(N-1) + f(N-2)) + ... + (-1)^N (f(2) + f(1))
>      = g(N) - g(N-1) + ... + (-1)^N g(2)
>      = P ((P-1)^(N-1) - (P-1)^(N-2) + ... + (-1)^N (P-1))
>      = (P-1)^N + (-1)^N (P-1)
>
>Estou mandando convite para você se inscrever na lista
>obm-rj@mat.puc-rio.br, para discussão de problemas de matemática.
>
>[]s, N.
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau
>


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