Re: prove se v ou f

["José Paulo Carneiro" <jpcarneiro@xxxxxxxxxxxxxxx>]

Ola Nicolau!

A demonstracao que estah no no 31 da RPM eh mais elementar,
nao necessita de que se tenha ouvido falar no numero e, nem usa
logaritmo. Em compensacao, so serve para naturais, o que eh o
caso aqui.
A ideia basica eh de que a^b > b^a se e so se raiz a-esima
de a > raiz b-esima de b, ou seja, o problema se reduz a discutir se a
sequencia de termo geral raiz n-esima de n eh monotona. De fato, ela
eh decrescente a partir do terceiro termo, como se conjectura facilmente
examinando seus primeiros termos.
Para demonstrar isto, basta ver que a condicao de x(n+1)<x(n) eh
equivalente a (1+1/n)^n <n. Mas, para n>=3, isto fica garantido por
(1+1/n)^n <3.
Por sua vez, isto eh classico, quando se demonstra que a sequencia
que define o numero e eh limitada superiormente (ver livro de Analise
do Elon): desenvolve-se pelo binomio de Newton, majoram-se n! por 2^n,
e somam-se od termos de uma P.G.
Abracos do
Jose Paulo Carneiro




-----Mensagem original-----
De: Nicolau C. Saldanha <nicolau@mat.puc-rio.br>
Para: Obm-Rj <obm-rj@saci.mat.puc-rio.br>
Data: Quarta-feira, 26 de Maio de 1999 12:45
Assunto: Re: prove se v ou f


On Wed, 26 May 1999, Benjamin Hinrichs wrote:

> Olá, como vão? Eu vou muito bem... :-)
> Chega de papo furado.
> Perguntara eu a uns dias (ou foi ontem? não estou bem certo, mas acho que
> foi ontem) se é verdade que x^x!>=x!^x.
> Bom, demonstrei isto, sabendo que x! cresce bem mais rapido que n^x (algo
> parecido).
> Elevando um número ao seu fatorial (em geral) resulta num número
> gigantesco..., ao contrário de um número, fatorialado e elevado ao
próprio.
> EX:
> 5^(5!)= 7,523163845263e+83
> (5!)^5 = 24883200000
> Claro que este exemplo de boçal não comprova nada, mas eu como tirei todas
> as outras anteriores, percebi que o fatorial é rápido... blábláblá.
> Só queria saber como um matemático "sério" (ou seja, o Nehab tá fora, já
que
> é muito brincalhão :-))) ) provaria para mim meu teorema... provavelmente
> esta fica contigo, Saldanha...
>
> []s, B.
> :-))))

Oi Benjamin,
Wagner e José Paulo mandaram referência mas, na tentativa
de tornar esta lista mais autocontida, ai vai um esboço de demonstração.

Lema: Se e <= a < b então a^b > b^a.

Aqui e é 2.7182...

Dem: (usando cálculo): basta provar que log(a^b) > log(b^a),
ou seja, que b log(a) > a log(b), ou seja, que log(a)/a > log(b)/b,
ou seja, que a função f(x) = log(x)/x é decrescente a partir de e.
Para tal derivamos f: f'(x) = (1 - log(x))/(x^2).
Visivelmante negativo para x > e.

qed

Seu problema agora fica fácil, pois claramente para n>2 temos
e < n < n!

Alguém oferece uma demonstração mais elementar?

[]s, N.
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau