Re: qual limite da indução?

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Sun, 23 May 1999, Benjamin Hinrichs wrote:

> Olá Pessoal,
> Depois De Duas Horas De Teste, Concluí Que Preciso Saber A Partir De Quantos
> Números Testados, Posso Dizer Se Uma Teoria É Verdadeira (Refiro-me A Teoria
> Do X/2 Para X Par, 3X+1 Para X Ímpar)? Será Que 11 000 000 Bastam? Testei
> Durante As Últimas Duas Horas, Todos Os Números De 1 Até 11 000 000 E Nenhum
> Deles Apresentou Uma Sequência Infinita. Para Que Isto Acontecesse, Acho Que
> É Necessário Um Puta Número, Provavelmente Primo, Não Me Perguntem Como
> Cheguei A Esta Conclusão. Creio Que Não Haja Um Número Capaz Disto, Pois
> Seria Uma Seqûencia Infinita. Ou se Houver, Talvez Seria Um Múltiplo De
> Pi... 

Parte do que você diz é verdade: se existir n para o qual a sequencia é
infinita então n deve ser muito grande. Por outro lado, testar um número
finito de casos, por maior que seja, não é uma demonstração.

Um dos melhores exemplos disso é o seguinte:
seja f(n) o número de primos da forma 3k+1 menores do que n
e g(n) o número de primos da forma 3k+2 no mesmo intervalo.
Por exemplo, f(20) = 3 (7,13,19), g(10) = 4 (2,5,11,17).
É ou não verdade que f(n) <= g(n) para todo n?

> Tá Bom, Pi É Irracional, Eu Sei. Mas Isto Foi Realmente Provado, Ou
> Calculando Pi Até Um Certo Número De Casas Decimais Deduziu-se Que Pi É
> Irracional. Estou Duvidoso Quanto A Este Ponto...

Foi provado que pi é irracional. Calcular milhões de casas decimais
jamais seria uma demonstração deste fato.

Existem vários números relativamente simples, como (e+pi), e^e^e,
pi^pi^pi, que *devem* ser irracionais mas ninguém sabe demonstrar...
E calcular muitos algarismos não ajuda muito.

[]s, N.
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau