Re: Bola Chifruda!!!!

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Mon, 29 Mar 1999 repretec@secrel.com.br wrote:

> 	Oi Nicolau, sou eu de novo.... Nao consegui, geometricamente, entender o
> pi1(A)... Eu nao sei como eh que, por exemplo um laco que laca o primeiro
> chifre... No pi1, ele nao "gera" Z ??? Nao consegui ver como eh que ele
> pode nao gerar homologia!!! 
> 	Gostaria de me desculpar em insistir deste exemplo, mas voce conhece algum
> livro que tenha estas contas feitas??? Pelo menos o calculo do grupo
> fundamental deste aberto....
> 	Agradeco por sua atencao.
> 
> 					Abracos: Eduardo Teixeira


Uma representação para o pi1 é com infinitos geradores
a1, a2, a3, ... e com as relações a1 = [a2,a3],..., an = [a{2n},a{2n+1}],
onde os [] indicam comutador.
A forma de demonstrar este fato é considerando uma seqüência de abertos
A1 \subset A2 \subset ... com união A.
O A1 será o complemento de um toro sólido, onde este toro bota todos os
chifres dentro de um grande tubo; seu pi1 é gerado por a1.
O A2 será o complemento de um bitoro sólido, com as duas alças
entralaçadas: ele bota uma alça ao redor de cada grande chifre e seu
pi1 é gerado por a1, a2, a3 com relação a1 = [a2,a3].
O An tem alças ao redor dos chifres de n-ésima geração e tem pi1
gerado por a1, ..., a{2^n - 1} e relações
a1 = [a2,a3], ..., a{2^{n-1} - 1} = [a{2^n - 2},a{2^n - 1}].
A passagem ao limite segue de um argumento de compacidade.

Para ver que um determinado laço não gera homologia, tente construir
uma superfície (não um disco!) cujo bordo seja o dito laço:
isto em geral não é difícil...

Vou procurar uma referência. []s, N.