Problemas

[benedito <bene@xxxxxxxxxxx>]

Segue abaixo  quatro problemas

1) Ache todos os pares de inteiros  (x, y)  satisfazendo a seguinte equação

1 + 1996x + 1998y = xy.

2) Seja  A um subconjunto de  {0, 1, 2, 3, 4, ...., 1996, 1997} contendo
mais que  1.000 elementos. Prove que: ou  A  contém uma potência de  2
(isto é, um número da forma  2k  com  k um inteiro não negativo) ou existem
dois elementos distintos  a, b  em  A tais que a soma   a + b   é uma
potência de 2.

3) Seja  S o conjunto de todos os números naturais  n  satisfazendo as
condiçõe seguintes:
(a) n possui  1.000  algarismos;
(b) todos os algarismos de  n  são  ímpares;
(c) o valor absoluto da diferença entre algarismos adjacentes de  n  é  2.

Determine o número de elementos do conjunto  S.

4) Uma cidade possui  10.000  linhas telefônicas, cada uma acessada por um
número de quatro algarismos. Mais da metade das linhas telefônicas estão no
centro da cidade. Prove que: no centro da cidade, existe duas linhas
telefônicas cuja soma desses respectivos números é o número de uma linha
telefônica no centro da cidade.