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["Karin" <kpm@xxxxxxxxxxxxxxxx>]

I Olimpíada LPM de Matemática

Brasil, 1998.
Tempo: 4 horas e meia.
  Primeiro Dia.
Problema 1

Num triângulo acutângulo ABC, AB mede x2 e AC mede x3. Considere o ponto M
como médio do lado AC. Se AB é congruente a MC, quanto vale o lado BC?     

Problema 2

Seja x um número natural que satisfaz à inequação                  
  __
Ö xx £ x3 £ x2 + x + x + x + x + ... + x/1998.  
                            `2  `4  `6           

(1) Quais são os possíveis valores de x?                

(2) Demonstre que 1998 é um possível valor de x.

Problema 3

Uma caixa trancada possui cinco orifícios circulares. Dispõe-se de cinco
discos também circulares, cada um de uma cor diferente, que devem ser
introduzidos nos orifícios, um disco em cada orifício. Se os colocarmos
numa seqüência secreta, a caixa se abrirá, sendo que ao colocarmos um disco
em seu respectivo orifício, um mecanismo da caixa é acionado; ao colocarmos
dois discos em seus respectivos orifícios, dois mecanismos são acionados e
assim por diante, de forma que se todos os discos forem colocados na
seqüência secreta, todos os cinco mecanismos serão acionados e a caixa
automaticamente se abrirá. Veja abaixo algumas possíveis seqüências dos
discos e o número de mecanismos que elas acionam.

Seqüência dos discos:                                 Número de mecanismos 
                                                                           
             acionados:                              

Amarelo, Verde, Azul, Vermelho e Laranja.                               0
Laranja, Vermelho, Azul, Verde e Amarelo.                               1
Azul, Amarelo, Laranja, Vermelho e Verde.                               2
Vermelho, Laranja, Amarelo, Verde e Azul.                               3

(1) Considere o disco amarelo como A, o verde como B, o azul como C, o
vermelho como D e o laranja como E. Faça uma lista bem organizada de todas
as possíveis seqüências desses cinco discos e diga quantas são elas. 

(a) Observe a primeira seqüência mostrada. Podemos compará-la com todas as
outras que devem estar citadas na lista do item (1), e a partir desta
comparação, podemos eliminar algumas delas, ou seja, podemos conhecer
algumas seqüências (relacionadas na lista pedida) que, de acordo com a
primeira seqüência mostrada, não podem ser a correta para abrir a caixa.
Mostre o número exato de seqüências que podem ser eliminadas se comparadas
com a primeira mostrada e relacione numa nova lista todas as que restam.

(b) Agora, considere somente as seqüências que devem constar na lista
pedida no item anterior. Observe a segunda seqüência mostrada e diga o
número exato das que são eliminadas quando comparadas a ela, fazendo uma
nova relação que conste somente as restantes. 

(c) Repita o processo, comparando a terceira seqüência mostrada com as que
devem estar contidas na relação do item anterior. 

(2) Terminadas todas as listas com as respectivas informações pedidas, após
ter eliminado o maior número possível de seqüências, observe a última
seqüência mostrada. Compare-a com a sua última relação, tente eliminar mais
seqüências (se isto for possível) e responda: Quantas seqüências ainda
podem ser a correta para abrir a caixa? Se você achou mais do que uma,
cite-as. Se você encontrou apenas uma, mostre-a. Se você não encontrou
nenhuma seqüência que poderia ser a verdadeira, então diga que a caixa
jamais poderá ser aberta!


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Valor de cada problema:10 pontos



I Olimpíada LPM de Matemática

Brasil, 1998.
Tempo: 4 horas e meia.
Segundo Dia.
Problema 4

A + B + C = D, AB = D e C2 = D. A + B + C + D = X, X + Y = Z e Z £ 1998. Se
determinado que Y = 2, prove que
                                               _________
Z = Y - BY - CY + DY + YÖA + B + C  +  AY + BY + CY
                                     ¾¾¾¾¾¾
                                     A
Obs.: Todas as incógnitas são números naturais não-nulos, diferentes entre
si.

Problema 5

Seja LMN um triângulo isósceles interior ao retângulo ABCD. Considere o
conjunto de pontos E, F, K, P, Q e S como os pontos médios de AL, LB, ND,
AC, BD e CM, respectivamente, e o ponto T, como o pé da altura de L.. CD
mede 222 cm, AL mede 155 cm e TN mede 44 cm. Explique por que a área de um
possível triângulo a ser traçado no interior ao retângulo ABCD (mostre-o) é
1998 se e somente se a altura deste triângulo for um natural divisor por
1998.

Problema 6

O matemático Mathwell elaborou um jogo para seus colegas de estudo.
Inicialmente, ele exibiu um cartaz contendo as seguintes igualdades:
      __ 
x = Ö z
x = a + b + c
x + y = z
c + z = z + x - 1
b + a = b
c = a + b + 1

Depois, ele explicou os procedimentos. Durante 1998 dias, cada matemático
jogaria diariamente 98 vezes um dado de seis faces, sendo elas a, b, c, x,
y, z, todas presentes no cartaz mostrado. Cada incógnita representava um
número natural, que correspondia com o seu valor em pontos. Assim, as 98
jogadas diárias do dado deveriam ser anotadas e somadas, resultando num
total de pontos a cada dia. O processo continuaria até o 1998° dia, quando
seria declarado o vencedor, aquele que teria feito mais pontos ao final do
tempo especificado. 
(1) Mostre o valor de cada uma das seis faces do dado.

(2) Se um competidor, durante todos os dias do jogo, terminasse sempre com
um valor exatamente médio de pontos, qual seria a sua pontuação ao término
do jogo? E se o dado utilizado pelos matemáticos fosse comum, de faces
1,2,3,4,5 e 6, qual seria esta pontuação?


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Valor de cada problema: 10 pontos.



I Olimpíada LPM de Matemática

Brasil, 1998.
Tempo: 4 horas e meia.
Terceiro Dia.
Problema 7

Um tabuleiro ABCD é dividido em 14 x 14 quadrados unitários. Uma ficha é
colocada num dos vértices do tabuleiro e deverá chegar até o vértice
diagonal, através de movimentos iguais aos da peça "Cavalo" do jogo de
xadrez. Prove que para a ficha chegar ao vértice oposto, são necessários no
mínimo 10 movimentos.

Problema 8

Utilizando os algarismos de 0 a 9 exatamente uma vez, construa dois números
(para cada item) tal que:

(1) A diferença entre eles (o maior menos o menor) seja a menor possível.
(2) A diferença entre eles (o maior menos o menor) seja a maior possível.
(3) A soma deles seja a menor possível.
(4) A soma deles seja a maior possível.
(5) O produto deles seja o menor possível.
(6) O produto deles seja o maior possível.

Problema 9

Considere uma hexágono de ângulos congruentes. Traçamos retas na figura,
sempre ligando um vértice a três outros não adjacentes, de forma que de
cada vértice saem três retas. Mostre 96 triângulos que podem ser traçados
interiormente ao hexágono a partir dos vértices deste e dos pontos de
intersecção das retas.


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Valor de cada problema: 10 pontos.


Meu nome é Lucas Povarczuk Mocelim. Tenho 14 anos e amo a ciência dos
números. Por esta razão, já criei dezenas de problemas, sendo que 9 deles
constam na minha própria olimpíada de matemática, a I Olimpíada LPM de
Matemática. Gostaria que o senhor resolvesse a prova, dando a sua opinião
(faça críticas, dê sugestões, revele a que gostou mais, o porquê, etc.).
Mando esta mensagem porque teclei com a simpática Nelly, da OBM, e ela
sugeriu que eu enviasse os problemas ao professor Nicolau. Moro em Porto
Alegre, RS, e meu e-mail é kpm@netmarket.com.br
Prazer!