RES: [obm-l] divisibilidade

["Artur Costa Steiner" <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Na base 10, um inteiro positivo N, cujos algarismos sao a_n a_(n-1)....a-0, a_0 o das unidades, é dado pelo valor em x = 10 do polinômio

P(x) = a_n x^n + a_(n-1) x^(n-1)....+ ao. Se dvidirmos este polinomio pelo binomio x +1, obtemos P(x) = (x +1) Q(x) + r, sendo Q o quociente e r o resto. Como os coeficientes de Q sao inteiros e o termo lider de x +1 eh 1, Q tem coeficientes inteiros. 

Para x<> -1, P(x)/(x+1) =  Q(x) + r/(x +1).  Logo, para x inteiro, Q(x) eh inteiro e, portanto, x+1 divide P(x) se, e somente se, x+1 dividir r.

Temos que r = P(-1), do que deduzimos que (x+1)|P(x) se, e somente se, (-1)^na_n + (-1)^(n-1) a_(n-1) ...+ a-0 for divisivel por x +1. Como temos potencias de -1, isto significa que x+1 divide P(x) se, e somente se, a diferenca entre a soma dos coeficientes de ordem impar, contados a partir da direita, e soma dos coeficientes lgarismos de ordem par for divisivel por x +1.

 

Particularizando para o problema original, fazendo-se x = 10 verificamos que x +1 = 11 divide N se, e somente se, a diferenca entre a soma dos algarismos de ordem impar, contados a partir da direita, e soma dos algarismos de ordem par for divisivel por 11.

 

Um raciocínio semelhante, considerando-se agora o binomio x -1, prova o criterio de divisibilidade por 9.

 

[Artur Costa Steiner] 

 

 ----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de Kleber Bastos
Enviada em: segunda-feira, 10 de setembro de 2007 23:35
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] divisibilidade

Enuncie e demonstre o critério da divisibilidade por 11 na base 10 . ??

 

Não sei qual caminho tomar .. Alguém me ajudaria na questão acima ?

--
Kleber B. Bastos