Re: [obm-l] PRISIONEIROS

["Marcelo Salhab Brogliato" <msbrogli@xxxxxxxxx>]

Olá denovo Arkon,

bom, se eu calcular Sum P(X), obtemos 3.. hehe estranho né?
acredito que esqueci de normalizar.. isto é: dividir tudo por 3..

sobre Sum[k=1..inf] k/3^k, temos:

S = Sum[k=1..inf] k/3^k
3S = Sum[k=0..inf] (k+1)/3^k = Sum[k=0..inf] k/3^k + Sum[k=0..inf] 1/3^k
3S = S + 3/2
S = 3/4

assim: 3E = (6*3/4 + 3/2) + (6*3/4 + 9/2) = 15

E = 5 horas..
dps de uns tropecos, acho que foi! :)

abracos,
Salhab


On 8/14/07, Marcelo Salhab Brogliato <msbrogli@gmail.com> wrote:
> Olá Arkon,
>
> vamos calcular a probabilidade dele conseguir chegar à saida em X horas.
>
> 1 hora: P(1) = 1/3 [pegar o primeiro caminho]
> 2 horas: P(2) = 0
> 3 horas: P(3) = 1/3 [pegar o segundo caminho]
> 4 horas: P(4) = 0
> hmm P(5) = 0, P(6) = 0, P(7) = 1/3*1/3 [pegar o 3o. caminho e dps o primeiro]
> hmm P(8) = 0, P(9) = 1/3*1/3 [pegar o 3o. caminho e dps o 2o.]
>
> vamos tentar generalizar:
> P(6k+1) = (1/3)^k
> P(6k+3) = (1/3)^k
> P(demais) = 0
>
> sabemos que E = Sum[x*P(x)] = Sum[k=0 ... inf] { (6k+1)/3^k } +
> Sum[k=0 ... inf] { (6k+3)/3^k }
>
> Sum[k=0 .. inf] 1/3^k = 3/2 [PG infinita]
> Sum[k=0 .. inf] 3/3^k = 9/2 [PG infinita]
>
> falta calcularmos Sum[k=0..inf] 6k/3^k..
> vamos calcular Sum[k=0..inf] k/3^k
> como a serie eh convergente, facamos:
> S = 1/3 + 2/3^2 + 3/3^3 + 4/3^4 + ...
> 3S = 1 + 2/3 + 3/3^2 + 4/3^3 + ...
> subtraindo, temos:
> 3S - S = 1 + (2/3 - 1/3) + (3/3^2 - 2/3^2) + (4/3^3 - 3/3^3) + ...
> 2S = 1 + 1/3 + 1/3^2 + 1/3^3 + ...
> 2S = 1 + 3/2 [PG infinita em 1/3 + 1/3^2 + ... ]
> 2S = 5/2
> S = 5/4
> logo: Sum[k=0..inf] 6k/3^k = 6*5/4 = 15/2
>
> deste modo, ficamos com:
> E = (15/2 + 3/2) + (15/2 + 9/2) = (15+3+15+9)/2 = 42/2 = 21 horas
>
> eita... nenhuma das opcoes? hehehe
> espero ter errado conta ao inves de conceitos :)
>
> abracos,
> Salhab
>
>
>
> On 8/13/07, arkon <arkon@bol.com.br> wrote:
> >
> >
> >
> >  Alguém pode resolver essa, por favor:
> >
> >
> >
> > Em uma cela, há uma passagem secreta que conduz a um porão de onde partem 3
> > túneis. o 1º túnel dá acesso à liberdade em 1 hora; o 2º, em 3 horas; O 3º
> > leva ao ponto de partida em 6 horas. Em média, os prisioneiros que descobrem
> > os túneis conseguem escapar da prisão em:
> >
> >
> >
> > a)3h 20'   b)3h 40'   c)4h     d)4h 30'    e)5h.
> >
> >
> >
> > DESDE JÁ MUITO OBRIGADO A TODOS
> >
> >
>

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================