Re: [obm-l] Topologia

[ralonso <ralonso@xxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Olá Kleber:
 Antes de demostrar, vou mudar um pouco o enunciado para ele
ficar mais confortável (apenas substituir X por S e e Y por T, X vai
ser meu espaço topológico).
  "Sejam S, T contidos em R, S ( diferente de 0 ) e T ( diferente de 0
).Mostrar que int ( S ) U int ( T ) está contido em int ( S U T ) "

    Suponho que com  int(S)  vc queira dizer "interior de S" e com
R você queira dizer conjunto (espaço topológico) dos reais.

   Neste caso, para resolver, é só lembrar a definição de ponto
interior de um conjunto e aplicar os axiomas da teoria dos conjuntos
para demonstrar.  Pelo que me lembro, a definição mais geral de ponto
interior é:

  "Um ponto p é um ponto interior de um conjunto S de um espaço
topológico X,
se existe um subconjunto aberto A de S que contém p"

  Substitua agora X por R e A por intervalo aberto.  Agora é preciso
lembrar antes
de resolver, que o conjunto S pode ser "qualquer coisa", inclusive um
conjunto fractal
como o conjunto de Cantor, com interior vazio.   Estes casos (int (S) e
int (T) vazios)
podem ser considerados casos para uma demonstração por casos.

   Por exemplo:  int(S) = O  e int (T) = O  ==>  int (S) U int(T) = O
que está contido em int (S U T),
pois O (o conjunto vazio) está contido em qualquer conjunto eu posso
concluir isso porque o
enunciado diz  que S U T é diferente de vazio (S != 0 e T != 0)


Agora suponha int(S) != O ==>  existe p em int (S) e existe A contido em
S, A aberto, tal que p está em A.
                                         ==> como A está em S então A
está também em S U T e como A é aberto então
                                        ==> A também está em int (S U
T),  note que int (S U T) é uma reunião de conjuntos abertos
                                       ==>   e que este conjunto  não
pode ser vazio.
                                        ==>  A contém p logo p está em
int(S U T )
                                        ==> int ( S ) U int ( T ) está
contido em int ( S U T ) .


Note que aparentemente o resultado é geral e vale para quaisquer espaços
topológicos.  Ooops... será
que eu errei algo?  Me corrijam por favor.  Falando em topologia, alguém
conhece algum livro de topologia
algébrica que fale sobre quebra-cabeças de argolas?  Daqueles problemas
de tirar uma argola de dentro de
outra?

Abraços.
Ronaldo.




Kleber Bastos wrote:

>  Sejam X, Y contidos em R, X ( diferente de 0 ) e Y ( diferente de 0
> ). Mostrar que int ( X ) U int ( Y ) está contido em int ( X U Y ) .
>
> --
> Kleber B. Bastos

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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