Ola' Benedito e colegas da lista, acho que deve ter um jeito mais simples de fazer isso, mas vamos la'...
Inicialmente, vamos estabelecer um conceito e um teorema (que poderiam ser formalizados, mas o texto fica muito longo. Como e' quase intuitivo, vou apenas mostrar a ideia)
Conceito: Em relacao a um ponto "P" (que funcionara' como nosso "ponto de vista"), vou dizer que um segmento "r" de reta esta' "atras" de outro segmento "s" caso "s" intercepte nossa visao de algum ponto de "r". Tambem direi que "s" esta' "na frente" de "r".
Teorema: Para um ponto de vista "P", se "t" esta' na frente de "s", e "s" esta' na frente de "r", entao "t" esta' na fente de "r", dado que "r", "s" e "t" nao se cruzam.
Em outras palavras, a propriedade de "estar na frente" (ou atras) e' transitiva.
Agora vamos ao problema propriamente dito:
Escolha os vertices A,B e C contiguos,tais que o angulo interno em B seja inferior a 180.
Caso nao
exista aresta interna ao triangulo ABC, entao a diagonal AC pode ser tracada sem cortar nenhuma outra aresta, satisfazendo ao problema.
E caso haja alguma aresta interna a ABC, entao, existe pelo menos um vertice V1, interno a ABC, correspondente a uma das extremidades desta aresta.
Considere a linha BV1. Se ela nao corta nenhuma outra aresta, entao ela e' uma diagonal contida no poligono.
E se BV1 corta alguma aresta, entao considere a aresta "da frente", e descarte todas as arestas "atras".
Esta nova aresta necessariamente tem pelo menos um vertice V2 dentro de ABC.
Tome o vertice V2.
Considerando agora a linha BV2, repetimos o procedimento, sabendo que todas as arestas "atras" nao mais interceptam BV2 (pelo teorema inicial).
Como o poligono tem um numero limitado de arestas, necessariamente chegaremos a uma linha BVn que nao e' mais interceptada por nenhuma outra aresta.
Entao, esta e' uma diagonal que satisfaz ao
problema.
Bem, por enquanto, essa foi a demonntracao que me ocorreu...
[]'s Rogerio Ponce
Benedito <benedito@digi.com.br> escreveu:
Problema
Todo polígono de n lados, com n > 3, possui uma diagonal inteiramente contida na região do plano limitado por ele.
(O polígono não é necessariamente convexo).
Benedito
Alertas do Yahoo! Mail em seu celular. Saiba mais.