Tentativa de 1aDuas seqüências de números reais (a1, ..., an) e (x1, ..., xn).
Podemos colocar todos esses números numa seqüência única, e, depois organizá-los, para que o último elemento seja o maior deles; e o primeiro, o menor. Ora, essa diferença entre o máximo e o mínimo da seqüência com 2n números é sempre maior que a diferença entre quaisquer dos elementos interiores - o que prova a - pois se é maior que a própria diferença é maior que a sua metade. Essa verdade existirá mesmo para a diferença entre os extremos, pois, um número positivo é maior que a sua metade. Diz-se positivo anteriormente, pois pelo enunciado da questão, as diferenças encontradas são sempre positivas, calculadas diretamente ou pelo uso do módulo.Tentativa de 1b Xi! Provavelmente, há algo que não percebi. Talvez (a) necessite de alguma retificação, pois, como pode um número ser igual a sua metade. (sorriso). Acho que, se em uma dessas seqüências, ou, de repente ambas, tiverem números negativos e positivos (simétricos, talvez), então, vai se chegar nessa igualdade desejada. Não, isso tem haver com o módulo usado em um cálculo e não no outro. Isso mesmo! Seja (a1,..., an) a seqüência após organizada de forma an e a1 sejam o maior e o menor, respectivamente. Assim, d (calculado conforme o enunciado) será an - a1. Se a1 é negativo e na é positivo, então, d = an + |a1|. Agora, pensemos na seqüência (x1, ..., xn) também organizada. Que números podem ser esses de forma que D (a maior diferença entre os elementos que se correspondem) seja a metade de d? Hum... é isso, ou é quase isso, se cada xi é metade de ai, então, então a maior diferença entre |xi ? ai| será para an, i.e., |an ? an/2|, ou seja, an/2. Não é isso não. Se cada xi é ai +, então, acabou? Bem, essa fórmula dá seqüência crescente para xi. E a diferença xi ? ai é também crescente? Bem, é, pois, xi-ai = (ai ? a1)/2. Logo, a maior diferença desse tipo ocorrerá para xn ? an. E essa diferença será igual a metade de an ? a1. Acabou.Toda essa resolução pode ser melhorada (presumo), mas vou deixar assim por enquanto, depois volto. Vamos tentar o problema 2. Que pontuação poderia ganhar assim do jeito que está?
ÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝInstruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝ