[obm-l] RES: [obm-l] Dúvida Continuidade

["Artur Costa Steiner" <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Já foi visto que f(x) = k *x para todo racional x. Já vimos tambem que f eh continua em R. Definamos g:R --> R por g(x) = kx. Entao, g eh continua em R e concorda com f em Q. Como Q eh denso em R, f e g concordam em Q e f e g sao ambas continuas em R, segue-se de conhecido teorema (que, alias, vai alem dos espacos Euclidianos) que f = g em todo R. Assim, f(x) = kx para todo real x.

No caso Euclidiano, temos os seguinte:

Sejam f e g funcoes continuas de R^n em R^m que concordem em um subconjunto A de R^n, denso em R^n. Entao, f= g em todo o R^n.

Prova.: Seja x pertencente a R^n. Como A eh denso em R^n, existe uma sequencia (x_n) em A que converge para x. Como f e g concordam em A, (f(x_n) e (g(x_n)) sao a mesma sequencia. Da continuidade de f em R^n, segue-se que lim f(x_n) = f(x)e, da continuidade de g em R^n, segue-se que lim g(x_n) = g(x. Como (f_x_n) e (g(x_n)) sao a mesma sequencia, segue-se da unicidade do limite que f(x) = g(x). Logo, f = g em todo o R^n. f e g sao a mesma funcao.

Artur 

-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de Marcelo Salhab Brogliato
Enviada em: quinta-feira, 12 de julho de 2007 03:26
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Dúvida Continuidade


Olá Kleber,

vamos dar uns chutes para x e y e encontrar umas propriedades dessas funcoes:
y=0... f(x+0) = f(x) + f(0) .... f(0) = 0
x=-y... f(x-x) = f(x) + f(-x) .... f(-x) = -f(x) [funcao impar]
x=y... f(x+x) = f(x) + f(x) .... f(2x) = 2f(x) [por inducao,
facilmente mostramos que f(nx) = nf(x) para todo n natural]
como f(nx) = nf(x), para n natural, e f(-x) = -f(x), temos que:
f(-nx) = -f(nx) = -nf(x) ... assim, podemos extender para os inteiros..
vamos dizer que: p/q = a, mdc(p,q)=1, p, q inteiros..
p = aq ..assim: f(px) = pf(x)... f(aqx) = pf(x) ... mas q é inteiro,
logo: f(qax) = qf(ax)
assim: qf(ax) = pf(x) .... f(ax) = p/q f(x) = af(x) .... logo, vale
para os racionais tb...
-----
[daqui para baixo (até os proximos -----) estou chutando.. acredito
que alguem aki da lista pode confirmar o q estou dizendo ou me
corrigir!]
e agora? como generalizar isso para os irracionais?
acredito que é justamente usando o seu exercicio...
supondo que lim {x->a} f(x) = f(a)..
vamos particionar os reais.. R = Q U R\Q ...
para x E Q, temos: lim {x->a} f(x) = lim{k->a} f(kx) = lim{k->a} kf(x) = af(x)
para x E R\Q, temos que ter: lim {x->a} f(x) = af(x), pois, caso
contrario, f(x) nao seria continua em todos os pontos.
logo: f(ax) = af(x) para todo a real...
assim: f(x) = f(1*x) = x*f(1) .... f(x) = kx, onde k=f(1)...
portanto, a unica funcao com essas propriedades é: f(x) = kx...
------

agora o que foi pedido:
vamos supor que lim {x->0} f(x) = f(0) [continuidade na origem]
isto é: para todo eps>0, existe um delta>0, tal que: |x| < delta
implica: |f(x)| < eps
fazendo x = y-a, temos: |y-a| < delta implica |f(y-a)| = |f(y) +
f(-a)| = |f(y) - f(a)| < eps..
logo: lim {x->a} f(x) = f(a)... (cqd)

abracos,
Salhab




On 7/11/07, Kleber Bastos <kleber09@gmail.com> wrote:
> Seja f: R->R  tq
>
> f(x+y) = f(x) + f(y)  ( para todo x,y E R )
>
> Mostrar que , se f é continua na origem, então f é contínua em R.
>
>
> --
> Kleber B. Bastos

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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