Veja que (1 + 1/x)^x
= e ^( x ln(1 + 1/x)). Sabemos que, para x em (-1, 1], ln(1 +x) = x - x^2/2 +
x^3/3.... Assim, para x -->1 temos que
ln(1+ 1/x) = 1/x - 1/(2x^2) + o((1/(3x^3)). onde o(h) significa que lim
h-> 0 o(h)/h = 0.
Temos então que,
para x grande, x * ln(1+ x) =~ x (1/x - 1/(2x^2)) = 1
- 1/(2x). Sabemos também que, para y -->0, e^y =~ + 1 + y. Assim, para
x --> oo, temos que (1 +
1/x)^x = e ^( x ln(1 + 1/x)) =~ . e~(1 - (1/2x) = e *
e^(-1/2x) =~= e (1 - 1/(2x)). Desta forma, a expressão [e - (1 +
1/x)^x] equivale no infinito a e
- e (1 - 1/(2x)) = e/(2x). Ou seja, se x
--> oo, [e - (1 + 1/x)^x] ~ e/(2x).
Temos assim que
calcular lim (x --> oo) e^x/(2x), o qual sabemos ser infinito.
Finalmente, a
resposta é lim (x->inf)
exp(x)*[e - (1+1/x)^x ] = oo
Se fosse, lim (x->inf) x*[e - (1+1/x)^x ] = , teriamos lim ( x --> oo) x * e/2x =
e/2
Artur