RES: [obm-l] Continuidade em intervalo I.

["Artur Costa Steiner" <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Pelo  teorema do valor intermediario, tambem nao estou vendo como provar. 

 

Suponhamos que f seja monotonicamente crescente (se for decrescente, o raciocinio eh inteiramente analogo). Sabemos que, por ser monotonica, f so pode apresentar descontinuidades do tipo salto, isto eh, existencia de limites aa esquerda e aa direita mas em valores diferentes. Suponhamos que f seja descontinua em um ponto interior x de I e sejam Le e Ld os limites de f aa esquerda e aa direita de x. Suponhamos que y <> x seja outra descontinuidade de f em I. Se, y < x, entao, entao L'd < Le, sendo L'd o limite de f aa direita de y; se y >x, entao Ld  < L'e, sendo L'e o limite de f aa esquerda de y. Desta forma, o intervalo [Le, Ld] nao contem os limites nem aa esquerda nem aa direita de nenhuma descontinuidade de f distinta de x. A cada um dos intervalos deste tipo, corresponde uma  e somente uma descontinuidade de f em I, havendo assim uma bijecao entre a colecao de tais intervalos e o conjunto dos pontos de descontinuidade de f em I. Em cada um dos intervalos [Le, Ld] escolhamos um racional. Como estes intervalos sao disjuntos 2 a 2, hah uma bijecao entre eles e um subconjunto dos racionais, de modo que a colecao de tais intervalos eh enumeravel. E como este colecao esta em correspondencia biunivica com o conjunto dos pontos de descontinuidade, concluimos que tambem este eh enumeravel. 

 

Nesta prova ssumimos implicitamente que I eh aberto. Mas como intervalos fechado contem, 2 pontos a mais que o seu interior, a conclusao eh automaticamente extendida para intervalos fechados (como tambem aos dos tipos [a, b) e (a, b]).   

 

Este teorema eh um caso particualr de um outro, de demonstracao um pouco mais dificil, o qual afirma que, se uma f qualquer apresentar limites em todos os pontos de um intervalo I, entao o conjunto de suas descontinuidades em I eh enumeravel.

 

A conclusao referente a funcoes monotonicas nos proporciona uma forma imediata de mostrar que tais funcoes sao  Riemann integraveis em intervalos fechados.

 

Abracos

[Artur Costa Steiner] 

 

 -----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de Kleber Bastos
Enviada em: sábado, 30 de junho de 2007 21:49
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Continuidade em intervalo I.

Gente to resolvendo uma lista de exercícios de análise , pois tenho prova semana que vem , e os que naum consigo ver a solução , eu estou mandando para cá , e vcs estão me judando muito . Esse aqui eu tentei por teorema do valor intermediário e naum consigo ver que são enumeraveis . Me ajudem !

 

Seja I um intervalo e f: I -> R  uma função monótona .

 Prove que o conjunto dos pontos da descontinuidade de f é ENUMERÁVEL.