Re: [obm-l] russia 1999

["Maurício Collares" <mauricioc@xxxxxxxxx>]

On 6/30/07, Danilo Nascimento <souza_danilo@yahoo.com.br> wrote:
>
> bom ele chamou r=t+a e s=t-a. ficando (f(t+a)+f(t-a))/2>f(t). Agora
> "Devemos ter c(t-a,t) < c(t-a,t+a) < c(t,t+a) se a > 0."
> Que desigualdade eh essa?

Imaginando o gráfico fica mais fácil. Estamos supondo que a condição
do problema não vale para nenhum par de pontos, logo o ponto (t, f(t))
está abaixo da reta que liga os pontos (t-a, f(t-a)) e (t+a, f(t+a))
(faça o desenho para visualizar melhor). Assim, o coeficiente angular
da reta que liga os pontos de abscissas t-a e t+a é *maior* que o
coeficiente angular da reta que liga os ponto de abscissas t-a, pois o
coeficiente angular da primeira é (f(t+a) - f(t-a))/2a e o da segunda
é (f(t) - f(t-a))/a. Assim, usando a desigualdade (f(r)+f(s))/2 >
f((r+s)/2), temos (lembre que a desigualdade citada está sendo usada
porque estamos executando uma prova por contradição):

(f(t+a) - f(t-a))/2a = (f(t+a) + f(t-a) - 2f(t-a))/2a = ((f(t+a) +
f(t-a))/2 - f(t-a))/a
                        >= f(t)/a - f(t-a)/a = (f(t) - f(t-a))/a

Isso prova a primeira metade da desigualdade enunciada pelo Nicolau
(c(t-a,t) < c(t-a,t+a)). Podemos fazer algo similar para a segunda
desigualdade, mas, sinceramente, fazer isso algebricamente é apenas um
exercício de formalismo: as idéias estão contidas no desenho, e podem
ser traduzidas. Se você não conseguir, me avise que eu refaço.

Os coeifcientes precisam ser inteiros porque o contradomínio da função
é o conjunto Z. Como o coeficiente angular é definido por (delta
Y)/(delta X) e temos que o delta Y é inteiro (pois o contradomínio é
Z) e o delta X foi escolhido para ser um inverso de inteiro (estes são
os 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ... da mensagem do Nicolau), acabamos
concluindo que tal quociente é inteiro.

--
Abraços,
Maurício

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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