RES: [obm-l] 2^x = x^2

["Artur Costa Steiner" <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Por inspecao, vemos que 2 e 4 sao raizes desta equacao. Resta agora analisar se hah outras raizes. Temos 2^x = x^2 se, e somente se, x ln(2) = 2 ln(x), ou seja, sse ln(x)/x = ln(2)/2. Seja a funcao definida em (0, oo) por f(x) = ln(x)/x. Temos que f'(x) = (1 - ln(x))/x^2, do que concluimos que f' se anula em x* = e.  A esquerda de e, f' eh positiva e, aa direita, eh negativa, o que nos mostra que f passa por um maximo global em x* = e, para o quel f(x*) = 1/e. Desta forma, f eh estritamente crecente m (0, e) e estritamente decrescente em (e, oo). Temos ainda que f eh continua, que lim x -> 0+ f(x) = -oo e que lim x -> oo f(x) = 0. Isso implica que, em (0, e) f assuma uma unica vez todos os reais em (-oo, 1/e) e que, em (e,oo) , assuma uma unica vez todos os reais em (1/e, 0).  Concluimos assim que , para a>0, a<>1/e, a equacao ln(x)/x = a tem exatamente duas raizes em R. Como ln(2)/2 <> 1/e, ha exatamente 2 reais satisfazendo ln(x)/x = ln(2)/2. Logo, 2 e 4 sao as duas unicas raizes reais de 2^x = x^2.

 

Serah que hah outras raizes complexas nao reais?

 

Artur

 

 

 

 

 

 

 -----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de Julio Sousa
Enviada em: quinta-feira, 14 de junho de 2007 19:38
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] 2^x = x^2

achar as raízes de 2^x = x^2

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Júlio Sousa