[obm-l] m�todo para resolver integral

[Alan Pellejero <mathhawk2003@xxxxxxxxxxxx>]

Caros amigos da lista,

Por manipula��o alg�brica, descobri que o integral

int (1/(ax^2+bx+c))dx = ( 2 / ( i sqr(delta))) arctan ((2ax + b)/i sqrt  (delta)) + k, 

onde i � a unidade imagin�ria e delta = b^2 - 4ac. 

Minha d�vida � a seguinte:

� natural encontrar para a primitiva um n�mero em que apare�a unidade imagin�ria?
� v�lido tal m�todo? Pergunto pois, por verifica��o, constatei que a derivada daquela express�o � de fato o termo a integrar.
Por fim, gostaria de saber se tal m�todo � v�lido para um curso de c�lculo 1 por exemplo. Se algu�m aqui leciona calculo 1 ou lecionou e encontrar em uma prova de seus alunos a resolu��o de algo como:

int (1/(2x^2+3x-1))dx = ( 2 / i sqrt  (17) ) arctan ((4x + 3 ) / i sqrt  (17)) + k, iria aceitar?
Um fato que eu achei interessante � a rela��o de deriva��o entre o denominador da express�o a integrar e o numerador do dom�nio do arctan.

Mais uma
 d�vida.
Podemos encontrar para o mesmo integral duas express�es diferentes? Isso s� acontece em C ou em R tamb�m? Digo isto pq encontrei fun��es cujo integral � uma express�o usando logaritmos, quando o corpo � R e uma express�o usando arctan, quando o corpo � C. 
Cheguei inclusive a pensar que possa existir um elo entre as fun��es trigonom�tricas e as logar�timicas usando n�meros complexos. Existe alguma �rea da matem�tica que trabalha com isso? Pensei ate na reala��o de Euler:  e^(i pi) + 1 = 0, mas n�o consegui concluir nada interessante.
No mais, agrade�o a aten��o e pe�o desculpas pelo email longo.
Obrigado

Alan Pellejero

1� Ano bacharelado matem�tica
IME/USP

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