[obm-l] método para resolver integral

[Alan Pellejero <mathhawk2003@xxxxxxxxxxxx>]

Caros amigos da lista,

Por manipulação algébrica, descobri que o integral

int (1/(ax^2+bx+c))dx = ( 2 / ( i sqr(delta))) arctan ((2ax + b)/i sqrt  (delta)) + k, 

onde i é a unidade imaginária e delta = b^2 - 4ac. 

Minha dúvida é a seguinte:

É natural encontrar para a primitiva um número em que apareça unidade imaginária?
É válido tal método? Pergunto pois, por verificação, constatei que a derivada daquela expressão é de fato o termo a integrar.
Por fim, gostaria de saber se tal método é válido para um curso de cálculo 1 por exemplo. Se alguém aqui leciona calculo 1 ou lecionou e encontrar em uma prova de seus alunos a resolução de algo como:

int (1/(2x^2+3x-1))dx = ( 2 / i sqrt  (17) ) arctan ((4x + 3 ) / i sqrt  (17)) + k, iria aceitar?
Um fato que eu achei interessante é a relação de derivação entre o denominador da expressão a integrar e o numerador do domínio do arctan.

Mais uma
 dúvida.
Podemos encontrar para o mesmo integral duas expressões diferentes? Isso só acontece em C ou em R também? Digo isto pq encontrei funções cujo integral é uma expressão usando logaritmos, quando o corpo é R e uma expressão usando arctan, quando o corpo é C. 
Cheguei inclusive a pensar que possa existir um elo entre as funções trigonométricas e as logarítimicas usando números complexos. Existe alguma área da matemática que trabalha com isso? Pensei ate na realação de Euler:  e^(i pi) + 1 = 0, mas não consegui concluir nada interessante.
No mais, agradeço a atenção e peço desculpas pelo email longo.
Obrigado

Alan Pellejero

1º Ano bacharelado matemática
IME/USP

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