Re: [obm-l] Multiplicação de matrizes no determinante

[edneiramaral <edneiramaral@xxxxxxxxx>]

Há um tempo atrás tinha mandado esse problema na lista... Encontrei a 
resposta e queria compartilhar com vcs. 

Basicamente, o problema pode ser reduzido a mostrar que: 
det (I + AB) = det (I + BA) 
qnd A e B não são quadradas. Digamos: 
dim(A) = M x N 
dim(b) = N x M 

Usei essa dica: 
http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/~sillke/PUZZLES/det-i-ab 

e a propriedade de determinantes de matrizes particionadas (matrizes 
definidas por partes): 
det( [A B] ) = det( [A 0] ) = det(A).det(C) 
     [0 C]          [B C] 

Valeu! 

"Marcelo Salhab Brogliato" wrote: 
Opa, 
é verdade! vou pensar melhor aqui.. 
qualquer ideia eu mando amanha!! 
abracos, 
Salhab 

On 4/30/07, edneiramaral <edneiramaral@ig.com.br> wrote: 
> Acrescentando mais um dado, que existe no problema que estou trabalhando: 
> R é tal que 
> Rij = conj(Rji) 
> 
> Resposta ao Salhab: 
> 
> Se bem entendi sua idéia, eu cheguei a pensar algo parecido, mas parei pq 
as 
> matrizes F e H não são quadradas e nesse caso o determinante não está 
> definido, correto? 
> 
> Consigo por exemplo passar o R pro final e ficar com: 
> 
> det( I + R.H.F.F*.H*) = det( I + H.F.F*.H*.R) 
> 
> (usando ainda que, no caso a que estou aplicando, R tem a propriedade 
acima) 
> 
> Mas só faço isso pq tanto R (MxM) quanto as matrizes H.F.F*.H*  e 
H*.F*.F.H 
> são quadradas. Mas passar o R pro meio da multiplicação eu não consigo 
> porque H.F ou F*.H* não são quadradas. 
> 
> Obrigado, 
> Ednei Amaral 
> 
> 
> Em (14:42:47), obm-l@mat.puc-rio.br escreveu: 
> 
> 
> >Olá, 
> > 
> >queremos mostrar que: 
> >det( I + R.H.F.F*.H*) = det( I + F*.H*.R.H.F) 
> > 
> >sabemos que det(F) = conj[det(F*)] ... onde conj é conjugado do numero 
> >complexo 
> > 
> >assim: 
> >det(H*)/conj[det(H)] . det(F*)/conj[det(F)] . det( I + R.H.F.F*.H*) = 
> >det( F*H* + F*H*RHFF*H*) . 1/conj[det(H)] . 1/conj[det(F)] = det( I + 
> >F*H*RHF) . det(H*)/conj[det(H)] . det(F*)/conj[det(F)] = det(I + 
> >F*H*RHF) 
> > 
> >o q eu fiz foi o seguinte.. multipliquei por det(H*)/conj[det(H)], que 
> >é igual a 1, joguei o det(H*) pra dentro... coloquei dps o H* em 
> >evidencia pela direita... tirei o det(H*) e simplifiquei... fiz isso 
> >com F e H.. 
> > 
> >espero que tenha dado pra entender 
> > 
> >abracos, 
> >Salhab 
> > 
> >On 4/30/07, edneiramaral wrote: 
> >> Olá, 
> >> 
> >> estava verificando um resultado apresentado numa demonstaração e 
cheguei 
> a 
> >> um resultado semelhante ao que queria provar. Na prática, o resultado é 
> >> igual ao que cheguei (conforme verifiquei com alguns testes numéricos), 
> >> porém a forma apresentada está diferente. 
> >> 
> >> Gostaria de saber como faço para mostrar a seguinte igualdade: 
> >> 
> >> det( I + R.H.F.F*.H*) = det( I + F*.H*.R.H.F) 
> >> 
> >> onde 
> >> . significa multiplicação 
> >> * significa conjungado transposto da matriz (hermitiano) 
> >> H é matriz M x N 
> >> R é matriz M x M 
> >> F é matriz N X P 
> >> I é matriz identidade de tamanho compatível com a outra parcela da soma 
> >> 
> >> Obrigado, 
> >> Ednei Amaral 
> >> 
> >> 
> >> 
> > 
> >========================================================================= 
> >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
> >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html 
> >========================================================================= 
> > 
> >---------- 
> 
> 
>