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RES: [obm-l] Espacos compactos e funcoes continuas
Oi Claudio,
De fato, esqueci de dizer que A eh nao vazio.
Esta prova de fato cobre todos os espacos topologicos de Hausdorff sequencialmente compactos, o que inclu todos os espacos metricos. Eu havia comecado uma prova que foi ateh o ponto em que vc usou a propriedade de sequencialmente compacto. Ateh ai, nada muda na sua prova, pois em espacos de Hausdorff vale o teorema dos compactos enxaixados, porque nestes espacos conjuntos compactos sao fechados. Espacos de Hausdorff compactos e nao-metricos nao tem que ser sequencialmente compactos, mas a sua ideia da sequencia talvez possa ser generalizada para o conceito de rede. Em espacos compactos nao-metricos sequencias nao tem que conter uma subsequencia convergente, mas se substituirmos sequencia por rede, talves sua prova se mantenha.
Abracos
Artur
Imagino que voce tambem queira que A seja nao-vazio...
Enfim, segue abaixo uma demonstracao que supoe que X eh sequencialmente compacto, ou seja, que toda sequencia em X tem
uma subsequencia convergente para algum ponto de X.
Sejam:
X_0 = X; X_1 = f(X_0), X_2 = f(X_1), ..., X_(k+1) = f(X_k), ...
Repare que cada X_k eh compacto (imagem de um compacto por uma funcao continua)
e que que X_(k+1) estah contido em X_k:
X_1 estah contido em X_0.
Logo, X_2 = f(X_1) estah contido em f(X_0) = X_1.
Por inducao: X_(k+1) = f(X_k) estah contido em f(X_(k-1)) = X_k.
Tambem por inducao, verificamos que:
X_(k+1) <> vazio, por ser a imagem por f de X_k <> vazio.
Ou seja, X_0 > X_1 > X_2 > ... > X_k > ... eh uma sequencia decrescente de compactos nao-vazios (cada um contido no
anterior).
Seja A = Interseccao(k>=0) X_k.
Pelo teorema dos compactos encaixados (devido a Cantor, se nao me engano), A eh compacto e nao-vazio.
Alem disso, como X_1 eh um subconjunto proprio de X_0 = X, A eh um subconjunto proprio de X.
Finalmente, repare que:
A = Inter(k>=0) X_k = Inter(k>=0) X_(k+1) = Inter(k>=0) f(X_k)
Logo, como f(Inter(k>=0) X_k) estah contida em Inter(k>=0) f(X_k), concluimos que:
f(A) estah contida em A.
Por outro lado:
z pertence a A = Inter(k>=0) X_(k+1) ==>
z pertence a X_(k+1), para todo k >= 0 ==>
z pertence a f(X_k), para todo k >= 0 ==>
existe uma sequencia (x_k)(k>=0), com x_k em X_k tal que:
z = f(x_k), para todo k >= 0.
Como X eh compacto, passando a uma subsequencia, se necessario, podemos supor que x_k -> x.
Como, para j >= k, x_j pertence a X_k, temos que x pertence a X_k, para cada k >= 0.
Logo, x pertence a Inter(k>=0) X_k = A.
Como f eh continua, f(x_k) -> f(x), o qual pertence a f(A).
Mas (f(x_k)) eh uma sequencia constante, igual a z.
Logo, z = f(x), ou seja, z pertence a f(A) ==>
A estah contido em f(A).
Em suma, A = f(A) eh o conjunto invariante procurado.
[]s,
Claudio.
---------- Cabeçalho original -----------
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Tue, 15 May 2007 09:59:43 -0300
Assunto: [obm-l] Espacos compactos e funcoes continuas
>
> Ainda nao consegui encontra uma prova para este teorema, parece interessante:
>
> Seja (X, T) um espaco de Hausdorff compacto (para facilitar, podemos ver X como um espaco metrico) e seja f uma funcao
continua de X em X. Se f(X)for um subconjunto proprio de X, existe entao um subconjunto invariante e proprio de X. Dizemos
que um subconjunto A de X eh invariante se f(A) = A.
>
> A afirmacao acima pode nao ser verdadeira se X nao for compacto.
>
> Na terminologia da Topologia, diz-se que (X, T), um conjunto X e uma topologia T em X, eh um espaco de Hausdorff se, para
todos elementos distintos x1 e x2 de X, existirem vizinhanca disjuntas V1 de x1 e V2 de x2, isto eh, elementos distintos podem
ser separados por vizinhancas. Todo espaco metrico eh de Hausdforff.
>
> Artur
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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