[obm-l] Equações do terceiro grau e cúbicas

[Carlos Eddy Esaguy Nehab <carlos@xxxxxxxxx>]

Colegas da Lista

Como são recorrentes na Lista as equações do terceiro grau segue a
referência a um artigo extremamente criativo sobre "cúbicas"
que, numa abordagem interessantíssima, analisa aspectos (invariantes)
"de sua geometria".   Eu gostei muito.

http://www.m-a.org.uk/docs/library/2059.pdf

Este artigo gerou dezenas de outros: basta procurar no google por
"a new approach to solving the cubic" para
encontrá-los.

O próprio autor tem um outro artigo (aplicado a um problema específico)
em 
http://www.m-a.org.uk/docs/library/2060.pdf

Abraços,
Nehab

At 13:58 15/5/2007, you wrote:
>  
> De:
> owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> Para:
> obm-l@mat.puc-rio.br
> Cópia:
> Data:
> Mon, 14 May 2007 19:25:33 -0300
> (BRT)
> Assunto:
> [obm-l] equação do terceiro
> grau
> > Resolver a equação 8x^3 - 6x - 1 = 0
> >
>  
> Seja f(x) = 8x^3 - 6x - 1
>  
> f(-1) = -3 < 0
> f(-1/2) = 1 > 0 ==> tem uma raiz entre -1 e -1/2
> f(0) = -1 < 0 ==> tem uma raiz entre -1/2 e 0
> f(1) = 1 > 0  ==> tem uma raiz entre 0 e 1
>  
> Ou seja, f tem 3 raízes reais, todas de módulo < 1.
> Logo, podemos expressá-las na forma x = cos(t).
>  
> Sabemos que cos(3t) é um polinômio de 3o. grau em cos(t).
> Especificamente,
> cos(3t) = cos(2t+t) = 
> cos(2t)cos(t) - sen(2t)sen(t) = 
> (2*cos^2(t) - 1)*cos(t) - 2*sen^2(t)*cos(t) =
> 2*cos^3(t) - cos(t) - 2*cos(t) + 2*cos^3(t) =
> 4*cos^3(t) - 3*cos(t)   (que sorte...)
>  
> x = cos(t) é raiz da equação ==>
> 8*cos^3(t) - 6*cos(t) - 1 = 0 ==>
> 2*cos(3t) = 1 ==>
> cos(3t) = 1/2.
>  
> Se quisermos t no intervalo [0,2pi), teremos:
> 3t = pi/3 ou 5pi/3 ou 7pi/3 ou 11pi/3 ou 13pi/3 ou 17pi/3 ==>
> t = pi/9 ou 5pi/9 ou 7pi/9 ou 11pi/9 ou 13pi/9 ou 17pi/9 ==>
> cos(t) = cos(pi/9) ou cos(5pi/9) ou cos(7pi/9)
> (pois cos(11pi/9) = cos(7pi/9), cos(13pi/9) = cos(5pi/9) e cos(17pi/9) =
> cos(pi/9))
>  
> Logo, as raízes da equação são:
> cos(pi/9), cos(5pi/9) e cos(7pi/9).
>  
> []s,
> Claudio.