Re: RES: [obm-l] Problema sobre valor minimo

[Rafael <rfa1989@xxxxxxxxx>]

Gostaria de saber porque nao da certo resolver desse jeito (sei que
nao da, por causa da resposta acima, que deve ser a correta):

S = x+y+z >= 3(raiz cubica de xyz)     (media aritm >=media geom.)
igualdade em x=y=z
S = 3x
x . y^2 . z^3 = x^6 = 864
S = 3(raiz sexta de 864) ~ 9,26 que nao é a resposta certa.


On 5/10/07, Artur Costa Steiner <artur.steiner@mme.gov.br> wrote:
> Uma forma de resolver isso eh por multiplicadores de Lagrange.
>
> Seja g(x,y,z) = x + y + z - L ( x.y^2.z^3 - 864). L eh o multiplicador de
> Lagrange
>
> Igualando a 0 as derivadas parciais de g com relacao a x, y, z e L, obtemos
>
> 1 - L y^2 z^3 =0
> 1 - 2L xy z^3 =0
> 1 - 3L x y^2 z^2 =0
>  x.y^2.z^3 - 864 = 0
>
> Da 1a equacao, L = 1/(y^2z^3). Substituindo nas demais, vem
>
> 1 - 2 x/y = 0 => y = 2x
>
> 1 - 3x/z = 0 => z = 3x
>
> Substituindo na ultima, vem entao
>
> x . 4 x^2 . 27 x^3 = 864 => 108 x^6 = 864 => x^6 = 8 => x = raiz(2), y = 2
> raiz(2), z = 3 raiz(2)
>
> Veja que, mantendo y constante num valor positivo e fazendo x -> oo, podemos
> sempre encontrar um valor positivo para z tal que  x.y^2.z^3 =  864. Assim,
> atendendo-se à restricao, eh possivel  fazer x + y + z -> oo. Desta forma, a
> solucao encontrada nao eh maximo global, o problema nao tem isso. A solucao
> encontrada eh unica e as diferenciabilidades da funcao objetivo e da
> restricao indicam que, se houvesse outro ponto extremo, haveria outra
> solucao para o sistema acima (o que fizemos foi anular o chamado
> Lagrangeano).  Como x + y + z >0 para todos (x,y,z) viaveis, a funcao
> objetivo tem infimo. Acho que isso nospermiter garantir que eh minimo global
> sem entrarmos na matriz Hessiana.
>
> Assim, o valor minimo eh 6 raiz(2). Eh possivel que haja uma outra solucao
> sem usar o calculo, talvez ateh mais facil
>
> Artur
>
>
>
>
> l
>
>
>
>
> [Artur Costa Steiner]
>  sagem original-----
> De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de
> Bruno Carvalho
> Enviada em: quinta-feira, 10 de maio de 2007 13:06
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Assunto: [obm-l] Problema sobre valor minimo
>
>
>
> Peço ajuda na resolução do seguinte problema.
>
> Se x,y e z são números reais positivos  e  x.y^2.z^3 = 864 , qual o mínimo
> valor possível para x+y+z ?
>
> Opções:
> a)6 raiz de 2
> b)4raiz de três
> c)9
> d)6raiz de três.
>
> Desde já agradeço a ajuda.
>
> Bruno
>
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>
>


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          RAFAEL

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