[obm-l] Re:[obm-l] Teoria dos números

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

O enunciado implica que:

N == 56 (mod 100) ==> N == 56 (mod 4*25)

N == 0 (mod 56) ==> N == 0 (mod 8*7)

N == 56 (mod 9) ==> N == 2 (mod 9)

 

Ou seja:

N == 6 (mod 25)

N == 0 (mod 8)

N == 0 (mod 7)

N == 2 (mod 9) 

 

n == 6 (mod 25) ==>

N = 6 + 25*a == 2 (mod 9) ==>

a == 2 (mod 9) ==>

a = 2 + 9*b ==>

N = 56 + 225*b == 0 (mod 8) ==>

b == 0 (mod 8) ==>

b = 8c ==>

N = 56 + 1800*c == 0 (mod 7) ==>

c == 0 (mod 7) ==>

c = 7d ==>

N = 56 + 12600*d

 

Agora, resta achar d de modo que a soma dos algarismos de N seja 56, ou equivalentemente, que a soma dos algarismos de 126*d seja 45.

 

Um pouco de reflexão mostra que d não deve ser muito pequeno, pois se o algarismo médio é 4,5 (=(0+1+2+...+9)/10), então 126*d deve ter cerca de 45/4,5 = 10 algarismos (é claro que tem que ter, no mínimo, 6 algarismos, pois o maior número de 5 (ou menos) algarismos com soma 45 é 99.999, que não é múltiplo de 126).

 

Mas, por sorte, 88.888*126 = 11.199.888, cuja soma dos algarismos é 45.

O N correspondente é 1.119.988.856.

Falta provar que este é, de fato, o menor N que satisfaz ao enunciado.

 

Por enquanto, estou sem idéias.

 

[]s,

Claudio.

 

 

 

De:	owner-obm-l@mat.puc-rio.br

Para:

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Data:

Mon, 23 Apr 2007 16:46:56 -0300

Assunto:

[obm-l] Teoria dos números

>  

>    Amigos, ajude-me nessas questões:

>  

>  1) Ache o menor número natural terminado em 56, divisível por 56, e com a soma dos seus algarismos igual a 56.

>  

>  2) Quantas soluções inteiras tem a equação x^1995 + y^1996 = z^1997