Re: [obm-l] séries numéricas

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Sat, Apr 07, 2007 at 01:17:14PM -0300, Claudio Gustavo wrote:
>   Oi. Sou Claudio Gustavo e esta é a primeira vez que escrevo para esta
>   lista. Gostaria de alguma dica para demonstrar que a soma de n=2 até
>   infinito de 1/(n*logn) diverge e a soma 1/(n*(logn)^r), com r mairo que 1,
>   converge. Tem alguma possibilidade de comparar com as somas harmônicas?
>   Pois a soma 1/n diverge e 1/(n^r) converge para r maior que 1.  Obrigado.

Já mandaram várias soluções e não vou acrescentar outra.
Vou acrescentar dois problemas. O primeiro é bem clássico.
O segundo caiu em alguma olimpíada, talvez tenha sido proposto pelo Gugu.

(1) Prove que as séries 

1/(n*log(n)*log(log(n)))
1/(n*log(n)*log(log(n))*log(log(log(n))))
1/(n*log(n)*log(log(n))*log(log(log(n)))*log(log(log(log(n)))))
...

divergem mas que as séries

1/(n*log(n)*(log(log(n)))^r)
1/(n*log(n)*log(log(n))*(log(log(log(n))))^r)
1/(n*log(n)*log(log(n))*log(log(log(n)))*(log(log(log(log(n)))))^r)
...

convergem para r > 1 qualquer que seja a base em que os logaritmos
sejam calculados.

(2) Vamos denotar log(log(...(log n)...)) com k logs por log^k(n).
Assim log^2(n) = log(log(n)), log^3(n) = log(log(log(n))), ...
Dado um inteiro positivo n, seja e(n) o maior inteiro tal que
log^(e(n))(n) = > 1 (com e(n) logs).
Defina a_n = 1/(n*log(n)*log^2(n)*...*log^(e(n))(n)).
Diga para quais bases a série acima converge/diverge.

[]s, N.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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