b_k -> 0 significa que lim(k -> infinito) b_k = 0
Isso quer dizer que, dado eps > 0, existe n_1 em N (conjunto dos naturais) tal que:
se k > n_1 entao |b_k - 0| = |b_k| < eps.
Em portugues: dizer que b_k tende a 0 significa dizer que, para todos os k suficientemente grandes, b_k estarah tao proximo de
zero quanto quisermos. Esta eh simplesmente a definicao de limite de uma sequencia.
Que tal entrar no Google e digitar: "Cesaro sum"?
De qualquer forma, a soma de Cesaro de uma sequencia (a_n) eh, por definicao, a sequencia (b_n) dada por:
b_n = (a_1+a_2+...+a_n)/n. Eu disse que eh manjadissima porque praticamente todos os livros de analise demonstram ou
pedem, como exercicio, a demonstracao do resultado abaixo: se a_n -> a, entao b_n -> a.
Tambem pode acontecer de (a_n) divergir mas (b_n) convergir. Voce consegue dar um exemplo disso?
[]s,
Claudio.
---------- Cabeçalho original -----------
De:
owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Mon, 9 Apr 2007 12:17:33 -0700 (PDT)
Assunto: Res: [obm-l] SEQUENCIAS II
> Ola Claudio,
> não entendi "b_k -> 0 ==> existe n_1 tal que k > n_1 implica |b_k| < eps/2."
> o que é n_1? pq vc tomou k>n_1? pq |b_k|<eps/2?
> Nao encontrei nada sobre essa soma de Cesaro.
> vlw.
>
>
> ----- Mensagem original ----
> De: claudio.buffara <claudio.buffara@terra.com.br>
> Para: obm-l <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Enviadas: Domingo, 8 de Abril de 2007 13:46:28
> Assunto: Re:[obm-l] SEQUENCIAS II
>
>
> ---------- Cabeçalho original -----------
>
> De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Cópia:
> Data: Thu, 5 Apr 2007 10:43:56 -0700 (PDT)
> Assunto: [obm-l] SEQUENCIAS II
>
> > Suponha que a_n-->a.
Mostre que :
> > 1/n*sum_(k=1, n) a_k-->a.
> >
>
> Essa eh a manjadissima soma de Cesaro.
> Para cada k, seja b_k = a_k - a. Como a_k -> a, b_k -> 0.
> Seja eps > 0.
> b_k -> 0 ==> existe n_1 tal que k > n_1 implica |b_k| < eps/2.
> Fixado n_1, existe n_2 > n_1 tal que k > n_2 implica |b_1+...+b_(n_1)|/k < eps/2.
> Mas entao, tomando k > n_2, teremos:
> |b_1 + b_2 + ... + b_(n_1) + b_(n_1+1) + ... + b_k|/k <=
> |b_1 + ... + b_(n_1)|/k + (|b_(n_1+1)| + ... + |b_k|)/k <
> eps/2 + (k - n_1)*(eps/2)/k < eps/2 + eps/2 = eps.
> Ou seja, (b_1+...+b_k)/k -> 0 ==> (a_1+...+a_k)/k -> a.
>
>
> > Suponha que 0<=a_1<=a_2<=.....<=a_k. Calcule
> > lim(n->oo) (a_1^n+a_2^n+a_3^n+..+a_k^n)1/n.
> >
>
> Vou supor que a expressao eh a raiz n-esima da soma das n-esimas potencias dos
a_i.
> Se todos os a_k forem 0, entao o limite eh zero.
> Caso contrario, escreva:
> a_1^n + ... + a_k^n = a_k^n*((a_1/a_k)^n + ... + (a_(k-1)/a_k)^n + 1).
> Isso implica que a_k^n <= a_1^n + ... + a_k^n <= k*a_k^n ==>
> a_k <= (a_1^n + ... + a_k^n)^(1/n) <= k^(1/n)*a_k.
> Fazendo n -> infinito e usando o teorema do sanduiche, concluimos que o limite procurado eh igual a a_k.
> (alias, essa eh a razao pela qual a norma do maximo eh chamada de norma infinito - repare que se n = 1, teremos a norma da
> soma e se n = 2, a norma euclidiana usual do R^k).
>
> Um problema correlato eh encarar n como uma variavel real e fazer n -> 0+.
> O limite nesse caso eh um pouco mais surpreendente.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
>
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e
usar a lista em
>
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html> =========================================================================
>
> __________________________________________________
> Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger
>
http://br.messenger.yahoo.com/ >
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=========================================================================