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Re: [obm-l] integral
Buenas,
Vamos começar pela fórmula da integral por partes:
int(a..b)(u dv) = uv(b)-uv(a) -int(a..b)(v du)
No caso, temos:
u = arctan(pi.x) - arctan(x)
v = ln(x)
int(0..+oo)( (arctan(pi.x) - arctan(x) )/x dx =
lim(x->oo)( (arctan(pi.x) - arctan(x) )*ln(x) -
lim(x->0)( (arctan(pi.x) - arctan(x) )*ln(x) -
int(0..oo)( (Pi/(1+Pi^2*x^2)-1/(1+x^2) )*ln(x)) dx
O segundo limite é zero (basta olhar a expansão de
taylor para arctan(x)).
O primeiro limite também é zero. Uma forma de ver pode
ser:
(arctan(pi.x) - arctan(x))*ln(x) = (arctan(pi.x) -
arctan(x)) / (1/ln(x))
lim(x->oo) ((arctan(pi.x) - arctan(x)) / (1/ln(x)) =
LHospital =>
lim(x->oo) (( Pi/(1+Pi^2*x^2) - 1/(1+x^2) ) *
ln(x)^2*x ) = 0
Então ficamos com:
int(0..+oo)( ( arctan(pi.x) - arctan(x) )/x dx =
int(0..oo)( -f(x) ) dx, Onde:
f(x) = ( Pi/(1+Pi^2*x^2) - 1/(1+x^2) ) * ln(x)
Agora vamos considerar a integral tomada entre -oo e
+oo, e lembrar que, para x E R>0, ln(-x)=ln(x)+i*Pi.
Assim:
int(-oo..+oo)(f(x)) dx = 2*int(0..oo) f(x) dx +
i*Pi*int(0..oo) Pi/(1+Pi^2*x^2) -1/(1+x^2)) dx
Bem, int(-oo..+oo) f(x) dx pode ser calculada por
resíduos. Depois, vc toma a parte real para calcular
int(0..oo) f(x) dx =>
f(x) tem dois pólos no semiplano complexo z=x+i*y com
y>0, que são: z=i e z=i/Pi.
Res(z=i) = lim( x->i ) ( f(x)*(x-i) ) = -Pi/4
Res(z=i/Pi) = lim( x->i/Pi )( f(x)*(x-i/Pi) ) = Pi/4
+i/2*ln(Pi)
int(-oo..+oo) f(x) dx =2*Pi*i*( -Pi/4+Pi/4+i/2*
ln(Pi))
int(-oo..+oo) f(x) dx = -Pi*ln(Pi)
A integral pedida é então:
int(0..+oo) (arctan(pi.x) - arctan(x))/x dx =
int(0..oo) -f(x) dx = 1/2 * Pi * ln(Pi)
[]´s Demetrio
--- BRENER <CARLOSBRENER@terra.com.br> escreveu:
> Ola, gostaria de uma ajudinha na integral
>
> int(0-->+00) (arctan(pi.x) - arctan(x))/x dx
> ----- Original Message -----
> From: "Chicao Valadares"
> <chicaovaladares@yahoo.com.br>
> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Sent: Tuesday, April 03, 2007 1:59 PM
> Subject: Re: [obm-l] PROBLEMAS INVULGARES!
>
>
> > >Agora, vem a "bomba" que pouca gente
> >> sabe desativar: Como
> >> fracionar 7 pães entre 10 homens? (Campeão!)
> >
> > Divide cada pão em 10 pedaços e dá sete pedaços
> pra
> > cada homem.
> >
> > "O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de
> Milo.
> > O que há é pouca gente para dar por isso... "
> > Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos
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