Olá Klaus,
sabemos que MA >= MG [media aritmetica maior ou igual a media geometrica]
assim:
(a_n + b_n)/2 >= (a_n*b_n)^(1/2)
a_(n+1) >= b_(n+1), n = 0, 1, 2, 3...
ou: b_n <= a_n, n = 1, 2, 3...
sabemos que a_n >= b_n, entao: a_n*b_n >= b_n^2 ... (a_n*b_n)^(1/2) >= b_n
logo: b_(n+1) >= b_n ... b_n <= b_(n+1)
opz, troquei no outro email!
b_n é crescente para n=1, 2, 3, ...
entao vamos por outro lado:
b_n <= a_n .... a_n+b_n <= 2a_n .... (a_n+b_n)/2 <= a_n ... a_(n+1) <= a_n
logo, a_n é decrescente para n=1,2,3,4,...!!
assim: 0 < a_n <= a_1 ... opa! a_n é limitada!
logo, a_n converge...
mas b_n <= a_n ... logo, b_n converge...
eu tinha dito que b_n é limitado pois é sempre positivo [maior que 0]
e decrescente.. isto é: 0 < b_n <= b_0, para qualquer n
mas isto esta furado, pois b_n nao eh decrescente!
po.. no primeiro email eu troquei inclusive a
desigualdade das medias..
esquece aquele email! ta todo errado! hehe desculpa ae!
espero ter ajudado,
abracos,
Salhab
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=========================================================================