Re: [obm-l] Isometria

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Wed, Apr 04, 2007 at 01:54:09PM -0300, rbdantas@urisan.tche.br wrote:
> >
> >
> >   Pessoal alguem sabe mostrar dados a e b na esfera unitaria do espaço
> > R^(n+1), Isto é , dados a e b na esfera unitaria S^n , existe uma
> > isometria f: S^n -----S^n   tal que f(a)=b ?

Uma forma fácil de explicitar uma tal isometria é tomar uma reflexão
no plano bissetor do segmento ab:

w = (a-b)/|(a-b)|,  f(v) = v - 2 <v,w> w

onde <v,w> representa o produto interno.
Esta construção só falha no caso a = b.
Pensei em deixar este caso para o leitor mas achei
que seria mais instrutivo observar que

w = (a+b)/|(a+b)|, f(v) = - v + 2 <v,w> w

funciona exceto para a = - b.

Aliás, para n par é impossível definir f_{a,b} continuamente
nos parâmetros a e b mesmo fixando a = e_1 pois isso
permitiria definir um campo de vetores tangente à esfera: f_{e_1,b}(e_2).
Como a característica de Euler de S^n é igual a 2 para n par
tal coisa é impossível.

[]s, N.
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================