RE: [obm-l] Problema... Olimpiada Argentina

[Rogerio Ponce <rogerioponce-obm@xxxxxxxxxxxx>]

> "Dessa forma todas as quádruplas (a, b, c, d) ficam determinadas para todos os valores possíveis de n natural."
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Todas as quadruplas? Nao, nao ficam determinadas.

Para n=8 (2^8 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2) , por exemplo, ha' solucoes como
    (a,b,c,d) = (0, 0, 0, 2^4)
ou (a,b,c,d) = (2^6, 2^6, 2^6, 2^6)
ou (a,b,c,d) = (0, 0, 2^7, 2^7)

[]'s
Rogerio Ponce


Jorge Armando Rehn Casierra <jorgerehn@hotmail.com> escreveu:

Olá pessoal!
Suponha que a quadrúpla ordenada que resolve 2^n=a^2+b^2+c^2+d^2, seja (a_n, b_n, c_n, d_n). Existem duas possibilidades para n natural, n ímpar e n par:
Se n é ímpar, n=2k+1 (k>=0), 2^n = 2^(2k+1) = 2*2^(2k) = (2^k)^2  + (2^k)^2 = 0 + 0 + (2^k)^2 + (2^k)^2, portanto a quádrupla que soluciona essa equação seria (a_n, b_n, c_n, d_n) = (0, 0, 2^k, 2^k).
Se n é par, n=2k (k>=1), 2^n = 2^(2k) = 2*2^(2k-1), existe um k', tal que k'=k-1 (k'>=0), substituindo dá: 2^n = 2*2^(2k'+1) = 2*2*2^(2k') = 4*2^(2k') = (2^k')^2 + (2^k')^2 + (2^k')^2 + (2^k')^2, portanto a quádrupla que soluciona essa equação seria (a_n, b_n, c_n, d_n) = (2^k', 2^k', 2^k', 2^k').
Dessa forma todas as quádruplas (a, b, c, d) ficam determinadas para todos os valores possíveis de n natural.
Um abraço pra todo mundo,
Jorge Armando

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From: jgpreturlan@uol.com.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Problema... Olimpiada Argentina
Date: Mon, 26 Mar 2007 21:45:28 -0300

Não consigo resolver:

 

Para cada número natural, n, n diferente de zero, determinar os inteiros a, b, c e d, 0<=a<=b<=c<=d, tais que 2^n=a^2+b^2+c^2+d^2.

 

Desde já, Agradeço.

João.

 

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