Re: [obm-l] Limite

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

> On 3/26/07, Leonardo Borges Avelino <topgun.lba@gmail.com> wrote:
> >
> > Calcule o limite:
> >
> > lim [cos(k/x)]^x     x->infinito com k constante sem utilizar l'hospital
> > ou série ou equivalência..... somente por limites fundamentais..
> > grato
> >
> > Leonardo Borges Avelino
> >

Isso equivale a lim(t->0+) (cos(kt))^(1/t)

Uma desigualdade fundamental (demonstrada via areas no circulo unitario, por exemplo - veja qualquer livro de calculo) eh:
0 < sen(x) < x, para x > 0 ==>
0 < sen^2(x) < x^2 ==>
1-x^2 < 1-sen^2(x) < 1 ==>
1-x^2 < cos^2(x) < 1 ==>
(1-k^2t^2)^(1/t) < (cos(kt))^(2/t) < 1

Para 0 < t < 1/k (0 < kt < 1) (estou supondo spdg que k > 0), podemos usar a desigualdade de Bernoulli:
1 >= (1 - k^2t^2)^(1/t) >= 1 - (1/t)*k^2t^2 = 1 - k^2t ==>
1 >= lim(t->0+) (1 - k^2t^2)^(1/t) >= lim(t->0+) (1 - k^2t) = 1.

Conclusao: (cos(kt))^(2/t) estah sanduichado entre duas funcoes cujo limite quando t->0+ eh 1.
Logo, o limite procurado eh 1.

[]s,
Claudio.



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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