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Re:[obm-l] Homomorfismo sobrejetor
---------- Cabe�alho original -----------
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
C�pia:
Data: Fri, 23 Mar 2007 19:51:51 -0300 (ART)
Assunto: [obm-l] Homomorfismo sobrejetor
> Ol� para todos! Estou com o seguinte problema:
>
> Seja d um divisor de n. Prove que o homomorfismo natural de (Z/nZ)* em
> (Z/dZ)* � sobrejetor.
> Obs.: (Z/mZ)* � o grupo das unidades do anel (Z/nZ).
>
> Eu pensei no seguinte: Tome k um elemento de (Z/dZ)*. Ent�o (k,d)=1. Se (k,n)=1 ent�o basta tomar k em (Z/nZ)*.
Agora, se (k,n) > 1, ent�o dentre os n�meros {1,2,...,n/d-1} deve existir um i tal que (ik+d,n)=1. Por�m, n�o consigo mostrar
este �ltimo fato.
>
Se voce quiser pegar pesado, basta usar o teorema de Dirichlet.
Como (k,d) = 1, existem infinitos primos da forma ik+d (i em Z).
Tome um que nao divida n e acabou (i nao precisa estar em {1,2,...,n/d-1}).
Mas certamente deve haver alguma solucao mais elementar...
[]s,
Claudio.
> Se algu�m souber provar este fato, gostaria de ver a prova (ou se n�o for verdade, um contra-exemplo). Ou ainda, se
algu�m souber resolver o problema de outro modo...
>
> Grato,
>
> Tertuliano.
>
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